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Tirtus
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 19:52: | 
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Hi,
für meine Hausaufgaben bräuchte ich dringend die Summenformel für
1³+2³+3³+.....+n³.
Ich find sie irgendwie nirgend und selbst komme ich nicht drauf.
Bitte helft mir möglichst schnell.
Vielen vielen Dank schonmal im Voraus
Euer Tirtus |
J
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 21:09: |
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Die Formel lautet:
1³ + 2³ + 3³ + ...+ n³ = [n*(n+1)/2]²
Gruß J |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 14:47: |
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Hi Tirtus,
Es fehlt noch eine Herleitung für die Summenformel der
dritten Potenzen
s3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 +....................+ n ^ 3
Holen wir dies nach !
Wir gehen aus von der Relation
( t + 1 ) ^2 - (t - 1 ) ^ 2 = 4 t
Durch Multiplikation mit t ^ 2 entsteht:
t ^2 * ( t + 1 ) ^ 2 - ( t -1 ) ^ 2 * t ^2 = 4 * t ^ 3
Dies schreiben wir der Reihe nach an für t = n , n - 1,...1:
n ^ 2 * ( n + 1) ^ 2 - ( n - 1) ^ 2 * n ^2 = 4 * n ^ 3
(n -1) ^ 2 * n ^ 2 - ( n - 2 ) ^ 2 * ( n -1 ) ^ 2 = 4* (n-1) ^ 3
..............................................................................................
letzte Zeile:
1 ^ 2 * 2 ^ 2 - 0 = 4 * 1 ^ 3
Addiert man alle diese n Zeilen, so hebt sich
Ueberflüssiges weg und es bleibt:
n ^ 2 * (n + 1 ) ^ 2 = 4 * s3, wodurch die angegebene Formel
bewiesen ist.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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