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riecke
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 19:04: | 
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Das ist die Aufgabe:
Ein Rechteck mit fest gegebenem Umfang U rotiert um seine eine seiner Achsen, sodass ein Zylinder entsteht. Welche Masse muss das Rechteck erhalten, damit das Zylindervolumen ein Maximum annimmt?
hauptbedingun: max.volumen des Zylinders
nur mit variablen berechnen.
ich wäre sehr dankbar für ide lösung
Ulrike |
Lerny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 20:36: |
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Hi riecke,
Seien a und b die Seiten des Rechtecks. Dann gilt für den Umfang:
U=2a+2b => 2a=U-2b => a=U/2-b (Nebenbedingung)
Für das Volumen eines Zylinders gilt die Formel
V=pi*r²*h
h=a; r=b/2
V=pi*(b/2)²*a Nebenbedingung einsetzen
V(b)=pi*b²/4*(U/2-b)=pi/4*(u/2*b²-b³)
V'(b)=pi/4*(Ub-3b²)=0
Ub-3b²=0
b(U-3b)=0 => b=0 bzw. b=1/3U
Mit V"(b) nachweisen, dass b=1/3U die Lösung ist.
a=U/2-b=U/2-U/3=U/6
Damit hat das Rechteck die Maße a=U/6 und b=U/3
mfg Lerny |
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