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Mocki
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 12:36: | 
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Führe die folgenden Gleichungen duch die Substitution u=z² bzw. u=z³ auf quardratische zurück und bestimme sämtliche Lösungen!
c)z hoch 4 + (1+i)z²+i = 0
bitte ganz ausführlich Lösen!Ich würde das gerne kapieren ich versteh das nämlich gar nicht! Danke |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 21:00: |
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Hallo Mocki,
z4+(1+i)z² + i = 0
Wir setzen u = z²
u²+(1+i)u + i = 0
Diese quadratische Gleichung ergibt:
u = [-1-i ±Ö((-1-i)²-4i)]/2 = [-1-i ±(1-i)]/2
u1 = -i
u2 = -1
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Zurücksubstituieren:
z = ±Ö(u)
z1 = +Ö(-i) = ½ - ½*i*Ö2
z2 = -Ö(-i) = -½ + ½*i*Ö2
z3 = +Ö(-1) = i
z4 = -Ö(-1) = -i
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Mocki
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 11:49: |
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vielen dank bist ein schatz hehe
schönes weekend
zurücksubstituieren siehst du dann aus der formelsammlung oder also ich mein die werte? |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 15:57: |
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Hallo Mocki,
Es geht auch ohne große Formelsammlung:
Ö(-i) = ?
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Die Wurzel aus einer Zahl erhält man indem man die Wurzel aus dem Modul (=Betrag) zieht und das Argument halbiert.
Für unsere Zahl: -i gilt: ........(zeichne die Zahl in der Gauß-Ebene)
Modul = 1
Argument = (3/2)p
also:
Ö1 = 1
Halbes Argument = (3/4)p
Der neue Punkt liegt also ebenfalls auf dem Einheitskreis und man kann seine Koordinaten (=Real- und Imaginärteil) einfach bestimmen:
-½Ö2 + ½Ö(2)*i
wobei man noch beachten soll, dass die Wurzel aus einer Zahl unendlich viele Lösungen ergibt, davon zwei Lösungen als "Hauptwerte".
also auch: ½Ö2 - ½Ö(2)*i als Lösung.
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Eine etwas formellere Methode (ohne Skizze):
-i = 1*(cos(3p/2) + i*sin(3p/2))
Ö(-i) = Ö1*(cos(3p/4) + i*sin(3p/4) =
= 1*(-½Ö2 + i* ½Ö2)
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