| Autor |
Beitrag |
    
Tomik
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 22:47: | 
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Hallo!
Ich schreibe morgen eine tierisch schwere Klausur, und es wäre echt nett,
wenn mir jemand die 3 Aufgaben vor-rechnen könnte. Ne Erklärung wäre natürlich
auch echt spitze zu den Aufgaben. Aha, was ich noch sagen wollte: Leute - Danke!
Übungsklausur:
1.) gegeben: f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x +5
gesucht: fefinitionsbereich, schnitt mit den achsen, relative extremwerte, wendepunkt,
graph, symmetrieeigenschaften, tangente durch den wendepunkt
2.) Ein Graph berührt bei x=1 die x-Achse und hat bei W(3/-16) einen wendepunkt.
ermitteln sie f(x)= ax^3 + bx^2 + cx +d
3.) Nach dem Abschneiden der quadrate mit der seitenlänge x soll eine offene
schachtel mit maximalem volumen entstehen. wie wählen sie x? ist die hinreichende
bedingung für ein relatives maximum erfüllt?
(Bemerkung: Diese 3. Aufgabe ist sehr sehr schwer! Eine Zeichnung ist auch gegeben.
ein rechteck - 4 quadrate werden an den ecken abgeschnitten. diese quadrate heißen
"x"! Es gibt die seite "a" und die seite "b".)
Vielen Dank euch allen für die großartige Unterstützung für die humanistischen Laien
der Mathematik 
Grüße Tomik kuri@gmx.de |
Michael
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 23:29: |
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1.) Aufprobieren zeigt, daß x1=1 eine Nullstelle ist. Dann Polynomdivision:
(x^3+3x^2-9x+5)/(x-1)=x^2+4x-5
-(x^3-x^2)
----------
....4x^2-9x
-(4x^2-4x)
------------
.......-5x+5
-(-5x+5)
-------------
.........0 (Die Punkte sind nur zum Füllen!)
Quadratische Ergänzung:
(x+2)^2=5+4=9
x+2= +/- 3 ==>x2=1 und x3=-5
Nullstelle bei x=-5 und Berührpunkt bei x=1!
Extrema: f´(x)=3x^2+6x-9=0
x^2+2x-3=0
(x+1)^2=4
x+1= +/- 2 x=-3 und x=1
f´´(x)=6x+6
f´´(1)=12>0 Minimum bei x=1
f´´(-3)=-12<0 Maximum bei x=-3
Wendepunkt: f´´(x)=6x+6=0 ==>x=-1
f´´´(x)=6 ==>ungleich 0, daher Wendepunkt x=-1
Graph erhältst Du mit dem Funktionenplotter. Keine Symmetrie, da gerade und ungerade Exponenten vorkommen.
Tangente im Wendepunkt:
t(x)=mx+n
f´(-1)=3-6+9=6=m
t(x)=6x+n
f(-1)=16
t(-1)=-6+n=16 ==>n=22 ==>t(x)=6x+22!!! |
Ute
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 00:03: |
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Die Tangente dürfte nicht stimmen :
f'(-1) = 3-6-9 !!
also m = -12
mit der Punkt-Steigungsform ergibt sich :
y-y1=m(x-x1)
y-16=-12(x+1)
y= -12x +4
Ansonsten komm ich auf das gleiche Ergebnis .. |
Anna
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 06:08: |
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Okay, wißt ihr auch wie die 2. und 3. Aufgabe geht? Die erste hab ich auch gekonnt, aber die nächsten beiden?
Grüße
Anna |
Lerny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 08:13: |
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zu 2.)
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
(1/0) ist Punkt des Graphen : f(1)=a+b+c+d=0
Berührpunkt => Steigung 0 : f'(1)=0 <=> 3a+2b+c=0
W ist Punkt des Graphen: f(3)=-16 <=> 27a+9b+3c+d=-16
W Wendepunkt : f"(3)=0 <=> 18a+2b=0
=> Gleichungssystem mit 4 Variablen
(1) a+b+c+d=0
(2) 3a+2b+c=0
(3) 27a+9b+3c+d=-16
(4) 18a+2b=0 => 2b=-18a => b=-9a
(3)-(2) 26a+8b+2c=-16 (5)
(5)-2*(2) 20a+4b=-16
mit (4) folgt 20a-36a=-16 =>-16a=-16 => a=1; b=-9
mit (2) folgt 3-18+c=0 =>c=15
mit (1) 1-9+15+d=0 => d=-7
also f(x)=x³-9x²+15x-7
mfg Lerny |
Lerny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 08:28: |
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zu 3.)
Seiten des Rechtecks sind a und b. Nach dem Abschneiden der Quadrate mit der Seitenlänge x hat die Grundfläche der offenen Schachtel die Länge a-2x und die Breite b-2x. Die Höhe ist x.
Für das Volumen gilt: V=Länge*Breite*Höhe=(a-2x)*(b-2x)*x=(ab-2bx-2ax+4x²)*x=abx-2bx²-2ax²+4x³
V'(x)=ab-4bx-4ax+12x²=0
<=> 12x²-(a+b)4x+ab=0 |:12
<=> x²-((a+b)/12)*x+ab/12=0
=> x1,2=(a+b)/24+-Ö(((a+b)²/24²)-ab/12)=(a+b)/24+-(1/24)*Ö(a²-46ab+b²)
Jetzt noch die Werte für a und b einsetzen und mit der 2. Ableitung auf Maximum überprüfen.
mfg Lerny |
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