| Autor |
Beitrag |
    
Cratosch
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 17:36: | 
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Mir wurde schon super geholfen aber ich habe trotzdem noch fragen, weil wir schon vorarbeiten müssen, und uns der Lehrer noch nicht soweit alles erklärt hat.
Die Aufgabe war:
Ein Kegel soll bei einer 12cm langen Seitenkante ein möglichst großes Volumen bekommen.
Die Hilfe:
Als unabhängige Variable führen wir den halben
Oeffnungswinkel t des Kegels ein:
t ist also der Winkel zwischen der Kegelachse und
einer Mantellinie des Kegels .
Aus der Länge 12 einer Mantellinie berechnen wir
den Radius r des Grundkreises und die Höhe h des Kegels:
r = 12 * sin t
h = 12 * cos t
Das Volumen ist :
V = 1/3 * Pi * r^2 * h = Pi /3 *12^3 * (sin t )^2 * cos t
Es genügt, das Maximum der Funktion f(t) zu ermitteln,
welche durch Weglassen der numerischen Faktoren
übrigbleibt
Aus f (t) = ( sin t ) ^ 2 * cos t entsteht mit der Produktregel
die Ableitung
f '(t) = 2 sin t *(cos t ) ^2 - ( sin t ) ^3 =
= sin t * [ 2 (cos t) ^2 - ( sin t ) ^2 ] =
= sin t * [ 2 - 3 * ( sin t ) ^ 2 ]
Die massgebliche Lösung von f'(x) = 0 entsteht dadurch,
dass wir die eckige Klammer null setzen
Tun wir das, so erhalten wir die gesuchte Lösung:
sin t = wurzel (2/3) und damit den Oeffnunswinkel
t = to 54, 74 °, welcher das maximale Volumen
Vo = 576 * Pi * (sin to) ^ 2 * cos to ~ 696.5
liefert.
Meine Fragen:
1. wieso ist der Radius = 12 * sin t und wieso die Höhe = 12 * cos t ?
2. Wie kommt man bitte auf f(t)= (sin t) ^ 2 * cos t ?
3. Müsste es nicht bei der Ableitung statt f '(t) = 2 sin t *(cos t ) ^ 2 - ( sin t ) ^3 ,
f' (t) = 2 sin t * cos t - (sin t) ^ 3 heißen?
Ich muss leider so genau nachfragen, da ich und mein Freund es der Klasse erklären müssen, und es nicht nur eine Hausaufgabe die im Heft stehen muss ist. BITTE HALTET MICH NICHT FÜR BESCHEUERT AUCH WENN ICH ES VERSTEHEN KÖNNTE!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 21:16: |
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HiCratosch,
Noch kurz vor Torschluss dies:
Ein Achsenschnitt des Kegels zeigt ein bei M
rechtwinkliges Dreieck SMA mit S als Kegelspitze ,
M als Mittelpunkt des Grundkreises und A als ein Punkt
des Grundkreises.
Der spitze Winkel bei der Ecke S ist der Winkel t.
SA = 12 ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.
Mit den bekannten Sätzen der Trigonometrie des
rechtwinkligen Dreiecks berechnen wir:
die Kathete MA = r = SA * sin t = 12 * sin t
die Kathete MS = h = SA * cos t = 12 * cos t
Zu 2) mit der Volumenformel für den Kegel
Bei der Ableitung von f(t) benötigst Du ausser der Produktregel
auch die Kettenregel !
So ist z.B. die Ableitung von ( sin t ) ^ 2 allein schon
2 * sint * cos t ,
wobei cos t die innere Ableitung darstellt. u.s.w.
Viel Erfolg wünscht
H.R.Moser,megamath. |
Cratosch
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 07:51: |
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DANKE!!!!!!!!! |
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