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Beitrag |
    
Cratosch
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 18:17: | 
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Die Aufgabe:
Ein Kegel soll bei einer 12 cm langen Seitenkante ein möglichst großes Volumen bekommen.
Bitte helft mir (bis Mittwoch 25.4. abend!!), auch wenn es eigentlich einfach ist bzw. erscheint! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 21:57: |
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Hi Cratosch ,
Als unabhängige Variable führen wir den halben
Oeffnungswinkel t des Kegels ein:
t ist also der Winkel zwischen der Kegelachse und
einer Mantellinie des Kegels .
Aus der Länge 12 einer Mantellinie berechnen wir
den Radius r des Grundkreises und die Höhe h des Kegels:
r = 12 * sin t
h = 12 * cos t
Das Volumen ist :
V = 1/3 * Pi * r^2 * h = Pi /3 *12^3 * (sin t )^2 * cos t
Es genügt, das Maximum der Funktion f(t) zu ermitteln,
welche durch Weglassen der numerischen Faktoren
übrigbleibt
Aus f (t) = ( sin t ) ^ 2 * cos t entsteht mit der Produktregel
die Ableitung
f '(t) = 2 sin t *(cos t ) ^2 - ( sin t ) ^3 =
= sin t * [ 2 (cos t) ^2 - ( sin t ) ^2 ] =
= sin t * [ 2 - 3 * ( sin t ) ^ 2 ]
Die massgebliche Lösung von f'(x) = 0 entsteht dadurch,
dass wir die eckige Klammer null setzen
Tun wir das, so erhalten wir die gesuchte Lösung:
sin t = wurzel (2/3) und damit den Oeffnunswinkel
t = to 54, 74 °, welcher das maximale Volumen
Vo = 576 * Pi * (sin to) ^ 2 * cos to ~ 696.5
liefert.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.cos to =
liefert |
Cratosch
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 12:40: |
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Vielen Dank für die schnelle Antwort, Leute!!! |
Felix
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Dezember, 2005 - 16:07: |
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warum schwer wenn's auch einfach geht??? mal an phytagogras und extremwert bestimmung gedacht? also ich hab da ohne den ganzen trigonometrischen quatsch raus, dass der kegel für ein maximales volumen eine höhe von (12:Wurzel 3)cm haben muss...
cya gbg felix |
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