| Autor |
Beitrag |
    
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 16:59: | 
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Beweise:
Die Summe dreier aufeinanderfolgenden Kuben ist immer durch 9 teilbar.
(z.B. 2^3+3^3+4^3=99) |
Xell
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 18:48: |
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Die Summe dreier aufeinanderfolgender Kuben ist gegeben durch:
a³+(a+1)³+(a+2)³=a³+(a+1)*(a²+2a+1)+(a+2)*(a²+4a+4)=a³+a³+2a²+a+a²+2a+1+a³+4a²+4a+2a²+8a+8=3a³+9a²+15a+9
=3*(a³+3a²+5a+3)
Daraus folgt die Behauptung
mfG, Xell |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 19:55: |
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Oder: die drei aufeinanderfolgenden Zahlen seien
a-1 , a , a+1 (mit a³1):
(a-1)^3 + a^3 + (a+1)^3 = a^3-3a^2+3a-1 + a^3 + a^3 +3a^2+3a+1 = 3*a^3 + 6a = 3a*(a^2+2)
Falls a durch 3 teilbar ist, dann ist die Behauptung klar, da dann 3*a durch 9 teilbar.
Jetzt bleibt noch 1) a=3k+1 oder 2) a=3k+2 übrig:
1) mit a=3k+1 gilt
3a*(a^2+2)=3a*( (3k+1)^2+2 )= 3a*(9k^2+6k+1 +2)=3a*(9k^2+6k+3)=3a*3*(3k^2+2k+1): durch 9 teilbar
2) mit a=3k+2 gilt
3a*(a^2+2)=3a*( (3k+2)^2+2 )= 3a*(9k^2+12k+4 +2)=3a*(9k^2+12k+6)=3a*3*(3k^2+4k+2): durch 9 teilbar
ciao |
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