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Florian Kaiser
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. November, 1999 - 16:39: | 
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Bestimme den Wert von t, für den
ft(x)=(t-1+tx*ln(x))/x
die x-Achse berührt, und gebe die Koordinaten des Berührpunktes an.
Kann mir irgendjemand diese Aufgabe reklären?
Vielen Dank,
Florian |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 1999 - 01:43: |
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Berühren der x-Achse heißt im mathematischen Sinne f(x)=0 und f'(x)=0
also : ft(x)=0 <=> (t-1)=txln(x) => t=1/(1-xlnx)
ft'(x)=-(t-1)/x2+t/x=(1-t-tx)/x2=(1-t(1+x))/x2
einsetzen :
f'(x)=[1-(1+x)/(1-xlnx)]/x2
also f'(x)=0 <=>1-xlnx=1+x => 0=x(1+lnx)=>x=e-1
=>t=1/(1+e-1)
Hoffe das ist einigermaßen verständlich. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 1999 - 02:12: |
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Zunächst musst du dir t als eine beliebige, aber feste Zahl vorstellen. Z.B. t = 42.
Dann bestimmst du die Extremwerte von ft(x). Hierzu bildest du die erste Ableitung von ft(x) und setzt sie Null:
ft(x) = (t-1)/x + t*ln(x),
ft'(x0) = -(t-1)/x0² + t/x0 = 0.
Es folgt x0 = (t-1)/t (für t=0 keine Lösung!).
Wenn die erste Ableitung Null ist, liegt dort eine waagerechte Tangente vor. Nun musst du t so bestimmen, dass diese waagerechte Tangente die x-Achse ist. Es muss dazu ft(x0) = 0 gelten.
ft(x0) = ft((t-1)/t) = t + ln((t-1)/t) = 0 genau dann, wenn t = e/(e-1).
So, jetzt noch die Koordinaten (x0,y0) des Berührpunktes: y0=0 ist klar! x0 = (t-1)/t = 1/e.
Kapische?? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 1999 - 02:23: |
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Ingo war fixer, merke ich erst jetzt. Und einer von uns beiden hat einen Vorzeichenfehler. Wer, das kannst du jetzt ja mal selbst heraufinden, Florian. |
Florian Kaiser
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. November, 1999 - 15:17: |
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Vielen Dank für eure Hilfe, hat mir sehr geholfen.
Ach ja, Ingo, einen kleinen Fehler hast du. Denn
t=1/(1+xlnx), nicht 1/(1-xlnx)
Nochmals Vielen Dank,
FLORIAN |
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