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Ute
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 15:18: | 
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Hallo, Ihr Lieben, Ihr seid meine letzte Rettung!
Habe folgende Aufgabe erhalten :
Die Gesamtkostenfunktion eines Betriebes werde durch die Gleichung
K(x) =1/100 x³ - x² + 50x +720 erfasst.
Die Kapazitätsgrenze liegt bei 100.
a. Stellen Sie die Funktionsgleichung der aus der Gesamtkostenfunktion herzuleitenden Kostenfunktionen auf .
b. Nach Zeichnung des Graphen soll eine auf das wesentliche beschränkte Kurvendiskussion durchgeführt werden.
c. Berechnen Sie Betriebsoptimum, Minimum und lang -und kurzfristige Preisuntergrenze.
Bin für jeden Hinweis dankbar !
Ute |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 20:47: |
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HI Juta,
Vorbereitung: Zusammenstellung der wesentlichen Funktionen:
Kostenfunktion K(x) = 1/100 x^3 - x^2 + 50 x + 720
Als Summe der variablen Kosten Kv und der fixen Kosten Kf:
Kv= 1/100 x^3 - x^2 + 50 x
Kf = 720
Stückkosten oder durchschnittliche Kosten:
k(x) = K(x) / x = 1 / 100 x^2 - x + 50 + 720 / x
Durchschnittskosten von Kv(x) =
kv(x) = Kv(x) /x = 1/100 x^2 - x + 50
(1) Berechnung der Schwelle xs des Ertragsgesetzes:
K'(x) = 3 / 100 x^2 - 2 x + 50
K''(x) = 6/100 x - 2
K'''(x) = 6 /100
K''(x) = 0 für x = xs = 100/3 Mengeneinheiten ( Wendestelle von K(x) )
K'''(xs) > 0 , also hat die Funktion K'(x) bei x = xs ein Minimum.
(2) Die Stelle des Betriebsminimums und die langfristige
Preisuntergrenze
kv(x) = 1/100 x^2 - x +50
kv'(x) = 2/100 x - 1
kv''(x) = 2/100
kv'(x) = 0 für 2/00 x - 1 = 0 , daraus x = xm = 50 (Mengeneinheiten)
kv''(xm) =2 /100 > 0 ,also liegt ein Minimum vor.
Das Betriebsminimum liegt bei einem Ausstoss von xm = 50
Dazu gehört kv min = kv(50) = 1/100 * 2500 - 50 +50 = 25
(Geldeinheit pro Mengeneinheit).
Die kurzfristige Preisuntergrenze liegt somit bei 25 Ge/Me
Der Punkt des Betriebsminimums ist Bm( 50 /25)
In diesem Punkt schneiden sich die Kurven
Kv ' (x) und kv(x)
Kontrolle :
x = 50 eingesetzt in Kv '(x) :75 -100 +50 = 25
x = 50 eingesetzt in kv(x): 25 - 50 + 50 = 25
(3) Die langfristige Preisuntergrenze
k(x) = 1/100 x^2 - x + 50 + 720 / x
k' (x) = 2/100 x - 1 - 720 / x^2
k''(x) = 2/100 + 1440 / x^3
k'(x) = 0 : 2/100 x - 1 -720 / x^2 = 0
beiderseits mit x^2 multiplizieren:
es entsteht eine kubische Gleichung in x:
2/100 x^3 - x^2 - 720 = 0
In der Regel löst man solche Gleichungen mit Näherungsmethoden ,
z.B. mit Newton in Verbindung mit dem Horner-Schema..
Wir setzen Maple ein und erhalten zu unserer Ueberraschung
die ganzzahlige Lösung x = xo = 60.
k''(xo) > 0 , also liegt ein Minimum vor.
Kommentar
Das Betriebsoptimum liegt bei einem Ausstoss (Output) von xo = 60 Mengeneinheiten.
k min =k(xo) = 38 durch Einsetzen von xo = 60
Der Punkt Bo(60/38) ist der Schnittpunkt der Kurven
K'(x) und k(x)
Der zu xo gehörige minimale Wert 38 der Stückkosten
Wird mit k min bezeichnet und heisst
"langfristige Preisuntergrenze".
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Ute
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 21:03: |
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Einfach klasse Deine Lösung, werde gleich mal selber rechnen, um zu sehen, ob ich Dir folgen kann ;-)
Vielen Dank für Deine Hilfe !!!
Ute |
Kleine-Grosse
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 20:34: |
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Hello! Need some help!
Kann mir mal jemand die Zusammenhänge bei der Anwendung der Differentiale (Kostenfunktionen) logisch erklären? Auch in Bezug auf Sättigungsmenge, Betriebsminimum/-maximum, etc.
Ich schmeiss ständig durcheinander wann man welche Funktion benutzt und wie ich weitere Funktionen von p(x), E(x), K(x) etc. ableiten kann. |
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