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Kati
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 15:42: | 
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Hiiilfe bitte,
Gegeben seien reelle Funktionen f, g.
Beweise:Ist f in x0 ststig und ist g in x0 stetig , so ist g o f in x0 stetig.
Danke.
Gruß Kati |
Ute
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 18:07: |
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Hallo Kati,
ich will mal versuchen, den Beweis anzutreten :
Die Struktursätze für stetige Funktionen besagen, daß Summe Produkt und Verkettung zweier Funktionen ebenfalls stetig sind und daß die Kehrfunktion sowie die Umkehrfunktion einer stetigen Funktion ebenfalls stetig sind, sofern diese Funktionen existieren. Genauer gilt dabei folgendes :
1. Sind die Funktionen f und g an der Stelle x0 stetig, dann ist auch f + g an der Stelle x0 stetig. Erkennbar wird dies an der Umformung :
(( f+g)(x) - (f+g)(x0))
= (f(x) + g(x) -f(x0)-g(x0))
= ( f(x) - f(x0)) + ( g(x)-g(x0))
2. Ebenso gilt : Sind f und g an der Stelle x0 stetig, dann ist auch f*g an der Stelle x0 stetig.
Wir betrachten dafür wieder die Umformung :
(((f*g)(x) - (f*g)(x0))
= ( f(x)g(x) - f(x0)g(x0))
= f(x)( g(x)- g(x0))
+ g (x0)( f(x) - f(x0))
Da die konstanten Funktionen offenbar stetig sind, ist für alle a Element aus R mit f auch af stetig , insbesondere ist dann -f(=-1)f)) stetig.
Aus 1. folgt dann, daß auch die Differenz stetiger Funktionen stetig ist, denn
f-g =f + (-g).
3. Ist f an der Stelle x0 und g an der Stelle
f(x0)stetig , dann ist auch die Verkettung g o f
an der Stelle x0 stetig.
Nun fehlen meiner Tastatur leider ein paar Zeichen, ich hoffe du weißt trotzdem, was ich meine ( das e entspricht der spiegelverkehrten 3, e~ sollte eigentlich untereinander erscheinen):
Zu jedem e > 0 gibt es ein e~ > 0 mit
~
/g(y) - g(y0) < e für /y-y0/ < e
( wobei y0:=f(x0) ist). Zu diesem e > 0
gibt es ein delta(hab ich auch nicht *g*)>0 mit
/f(x) - f(x0)< e~ für /x-x0/< delta
Also gibt es zu jedem e > 0 ein delta > 0 mit
/g( f(x)) - g( f(x0))/ < e für /x-x0/ < delta
In die weiteren Untiefen der Stetigkeit haben wir uns in der Schule nicht gewagt *g*, ich hoffe aber, dass es Dir trotzdem hilft ..
So long
Ute |
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