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carsten
| Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 20:48: |
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gegeben ist die funktion f(x)=2x²-x^4. Frage:Ist die Funktion auf dem Intervall [1;1/2] konvex,konkav oder weder konvex noch konkav? Und die Bereiche angeben wo die Funktion monoton ist. Genaue Erklärung wäre lieb. |
thalesx
| Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 02:18: |
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Hi Carsten! f(x)=-x^4+2x^2 Ich werde zuerste die Monotonieintervalle bestimmen...hierzu bilde ich die erste Ableitung.. f'(x)= -4x^3+4x Bedingung für Extremstelle: f'(x)=0 <=> -4x^3+4x=0 <=> -4x(x²-1)=0 => x=0 und x=1 und x=-1 sind mögliche Extremstellen, hinreichende Bedingung f''(x0)<>0 ist erfüllt--> 1 und -1 sind Tiefstellen, 0 ist Hochstelle. Daraus folgt: f(x) ist monoton in [-oo;-1],[-1;0],[0;1],[1;+oo] Zur Frage der Krümmung: Existieren Wendestellen: Notw. Bed: f''(x)=0 <=>-12x^2+4=0 <=>12x^2=4 <=> x^2=1/3 <=> x= Wurzel (1/3), ungefähr 0,57 Daraus folgt: Krümmungswechsel bei 0,57 --> Einsetzen von 1/2 bzw 1 in f''(x) ergibt: Rechtskrümmung von [1/2;wurzel(1/3)] Linkskrümmung von [wurzel(1/3);1] Ich hoffe die Frage ist damit beantwortet MfG thalesx |
carsten
| Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 09:45: |
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bist du dir sicher,daß bei 1 und -1 eine Tiefstelle ist und bei 0 eine Hochstelle?Ich glaube das ist umgekehrt. Könnte man die Monotonie auch mit einer Fallunterscheidung erklären.->damit hab ich nämlich meine Probleme. |
Andra
| Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 01:26: |
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Hallo Carsten, f(x)= -x4 + 2x2 f'(x) = -4x3 + 4x f''(x) = -12x2 + 4 Nullstellen sind x1 = 0, x2 = 1, x3 = -1 Diese werden zur Bestimmung Hoch-/Tiefpunkt in die zweite Ableitung eingesetzt: f''(0) = -12*0 + 4 = 4 4 > 0 => x1 = 0 ist Tiefpunkt f''(1) = -12*1 + 4 = -8 -8 < 0 => x2 ist Hochpunkt f''(-1) = -12*1 + 4 = -8 -8 < 0 => x3 ist Hochpunkt Ein Polynom ist immer zwischen seinen Extrema und "außen" monoton. Wie man da eine Fallunterscheidung macht, weiß ich allerdings nicht. Ciao, Andra |
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