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Beitrag |
    
Anna
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 17:06: | 
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Eine Parabel in 1 .Hauptlage geht durch den Punkt P=(6/ Wurzel aus 96)
Durch diesen Punkt wird eine Gerade normal zur 1 .Achse gezogen. In das dadurch entsatndene Parabelsegment soll ein möglichst grosses Rechteck, von dem eine Seite auf der Geraden liegt eingecshrieben werden.
Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen?
DRINGEND BITTE LÖSEN... |
Zorro
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 09:45: |
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Hallo Anna,
zuerst müssen wir die Funktionsgleichung der Parabel bestimmen:
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel lautet
f(x) = ax² + bx + c
In unserem Fall sind c=0 (Verlauf durch (0;0)) und b=0 (Symetrie zur y-Achse)
a bestimmen wir durch Einsetzen von P
Ö96 = a*36
a = 0,272
f(x) = 0,272 x²
Eine Skizze hilft immer beim Verständnis:
Die Zielfunktion muß die zu maximierende Fläche beschreiben:
A(x;y) = x * (Ö96-y)
Die Nebenbedingung ist die Parabelfunktion, auf der der Eckpunkt des Rechtecks liegen soll
y = 0,272 x²
Die Nebenbedingung in die Zielfunktion eingesetzt ergibt
A(x) = x * (Ö96 – 0,272 x²)
A(x) = 9,798 x – 0,272 x³
A'(x) = 9,798 – 0,816 x²
A''(x) = -1,632 x
Für den maximalen Flächeninhalt muß die erste Ableitung der Zielfunktion = 0 gesetzt werden.
0 = 9,798 – 0,816 xmax²
xmax²= 12
xmax = +/- Ö12
Einsetzen von xmax in A''(x) ergibt einen Wert <0 , damit ist xmax ein Maximum.
Gruß, Zorro |
Zorro
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 10:12: |
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Hmmm – was ist schon "normal" *g*,
Also beim zweiten Durchlesen hatte ich jetzt den Verdacht, die Gerade sollte senkrecht zur x-Achse gezogen werden. Damit erhält man analog zur obigen Lösung folgendes Ergebnis:
A(x,y) = (6-x) * y
mit y = 0,272 x²
A(x) = (6-x) * 0,272 x²
A(x) = 1,632x² - 0,272x³
A'(x) = 3,264x – 0,816x²
A''(x) = 3,264 – 1,632x
A'(xmax) = 0
0 = xmax(3,264 – 0,816xmax)
xmax,1 = 0 => Minimum
xmax,2 = 4 => Maximum
Gruß, Zorro |
SquareRuth
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 15:44: |
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Abba Vorsicht...
xmax ist nicht gleich der Seitenlänge des Rechtecks.
Die maximale Fläche des Rechtecks ergibt sich bei xmax=4
d.h. die Seitenlänge beträgt (6-xmax)=2
Die Höhe des maximalen Rechtecks beträgt
y = f(xmax) = 0,272*16 = 4,352. |
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