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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Januar, 1999 - 16:05: | 
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Hi,
beim Diskutieren der Funktion f(x)=4x^4-4x^2 war ich ziemlich unsicher.Könnt Ihr mir weiterhelfen?
Gruß Kai |
Adam
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Januar, 1999 - 22:52: |
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Klar,
betrachten wir doch zuerst, wo f definiert ist:
f ist ein Polynom und ist damit auf ganz R definiert. [Nebenbei bemerkt ist f eune gerade Funktion, d.h. f(x) = f(-x), es würde genügen, f nur für positive x zu betrachten, da man durch Spiegelung an der y-Achse den Rest erhält.]
Dann ist es nützlich die Ableitungen (welche bei Polynomen immer existieren) zu bestimmen:
f(x) = 4x4-4x2
f'(x) = 16x3-8x
f"(x) = 48x2-8
f"'(x) = 96x
Nullstellen:
0 = f(x) = 4x4-4x2 = 4x2 (x2-1)
Daraus erhält man als Nullstellen -1,0,1.
Extremwerte:
0 = f'(x) = 16x3-8x = 16x(x2-½)
Das ist erfüllt für e1=-Wurzel(½),e2=0 und e3=+Wurzel(½).
f" ist für alle diese drei Werte ungleich Null, deshalb sind alle drei Extremwerte. f"(e1) und f"(e3) = 16 > 0, deshalb hat f in e1 und e3 Minimalpunkte, f"(e2) = -8 < 0, weshalb f in e2=0 einen Maximalwert annimmt.
Wendepunkte:
0 = f"(x) = 48x2-8 => w1 = +Wurzel(1/6), w2 = -Wurzel(1/6) lösen diese Gleichung. Da f"'(w1)¹0 und f"'(w2)¹0, sind w1 und w2 Wendepunkte.
Damit haben wir die charakteristischen Punkte von f(x) = 4x4-4x2 bestimmt und malen noch ein kleines Bildchen (sieht aus wie ein 'W' und verdeutlicht auch die oben schon angesprochene Symmetrie zur y-Achse):
Ja, dann schau Dir die Lösung an und melde Dich nochmal, wenn Du noch spezielle Fragen hast.
Grüße von Adam  |
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