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Hansi (Mrx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 12:18: | 
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Von einer gebroch. rat. Funktion seien alle Nullstellen x0, Pole Xp und Lücken XL sowie ein Wertepaar (x1|Y1)gegeben. Stellen Sie die Gleichung der Funktion auf:
a)x01=2; X02=3; Xp=4; P1(0|-3)
b)x01=1; X02=-2; Xp1=-1; Xp2=2 P1(0|1/2)
c)x01=-3; X02=3; Xp1=1; Xp2=-1 P1(0|3)
Ich habe zwar die Lösung kann diese aber nicht zurückverfolgen.
Lösung: a)Y= 2x²-10x+12 / x-4
b)Y= x²+x-2 / 2x²-2x-4
c)Y= x³-2x²-9x+18 / 3x³-6x²-3x+6
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen und bedanke mich deshal im Vorraus. |
fstrichvonx
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 12:29: |
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ist nichts ueber den grad der gebrochen rationalen funktion gesagt? |
fstrichvonx
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 12:32: |
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Ansonsten erstmal soviel:
f(x) sei gebrochen rational.
n(x) der nenner von f(x)
z(x) der zaehler von f(x)
nullstelle heisst:
z(x)=0, n(x)|=0
pol heisst:
z(x)|=0, n(x)=0
luecke heisst:
z(x)=0, n(x)=0
Wertepaar bringt dir noch folgende gleichung:
f(x1)=y1=z(x1)/n(x1) |
Hansi (Mrx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 12:50: |
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Es ist nichts über den Grad gesagt, so steht die Aufgabe im Buch.
Ich nehme mal an, man muss den Grad selber herausfinden, anhand der Nullstellen oder? |
fstrichvonx
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 13:23: |
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andersherum gehts, du kannst anhand des grades sagen, wieviel nullstellen die funktion maximal hat!
hat dich denn das andere weitergebracht? |
Hansi (Mrx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 13:42: |
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Das hat mich erhlich gesagt nicht weitergebracht. Es wäre nett, wenn Du mir bitte z.B. a) ausführlich aufschreiben würdest dann kann ich mir den Rest selber zusammenbasteln :-) . |
Xell
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 14:14: |
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zu a)
x01=2; x02=3; xp=4; P1(0/-3)
f(x)=z(x)/n(x)
Ich suche nun den einfachsten Term, der die Bedingungen erfüllt:
z(x)=a*(x-2)*(x-3)
n(x)=x-4
Þ f(1)=-3
<=> (a*(-2)*(-3))/-4=-3
<=> 6a=12 <=> a=2
Þ
f(x)=z(x)/n(x)
=a*(x-2)*(x-3)/(x-4)
=2*(x-2)*(x-3)/(x-4)
=2*(x²-5x+6)/(x-4)
=(2x²-10x+12)/(x-4)=Y
Am Ende erhalte ich die gesuchte Lösung.
Ich hoffe, es hilft dir, die anderen Aufgaben zu lösen. Meld dich...
mfG |
Xell
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 14:35: |
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zu fstrichvonx:
Es steht doch: "Es seien alle Nullstellen bekannt."
Somit ist bei a) mit zwei Nst. als einfachstes Polynom genau das beschriebene konstruierbar. Man könnte natürlich noch zwei konjugiert komplexe Nst. einbauen, um dann ein Polynom vierten Grades zu erhalten, was jedoch eine unnötige Verkomplizierung darstellt.
Somit ist der Umkehrschluss doch zulässig, wenn man das einfachste Polynom sucht.
mfG |
Hansi (Mrx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 21:53: |
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Danke Xell. Ich habe das ganze fast verstanden. Ich habe nur noch einige Fragen.
Für diese Aufgaben gibt es die allgemeine Formel
f(x)=z(x)/n(x) richtig?
Gibt es auch eine allgemeine Formel für z(x)und n(x)? Was ist das für ein a bei z(x)?
Was ist F(1)? Ist das F(x1) Also Y? |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 23:15: |
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Hallo Hansi!
Die allgemeine Formel f(x)=z(x)/n(x) ist ein sinnvoller Ansatz, da nunmal gebrochenrationale Funktionen gesucht sind, die Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (hier z(x) und n(x)) sind.
Das a ist ein konstanter Faktor vor dem Polynom (ganzrationale Funktion), der so bestimmt werden muss, dass die angegebene Bedingung erfüllt ist, sprich: der Punkt P1 auf dem Graphen von f liegt.
f(x1) bedeutet der Funktionswert an der Stelle x1, also der Wert, den man erhält, wenn man x1 in die Funktionsgleichung einsetzt.
Es muss bei meiner Rechnung dann natürlich f(0)=-3 heißen, anstatt f(1)=-3, da der Funktionwert an der Stelle x1=0 angegeben ist durch den Punkt P1(x1/f(x1)), bei Teil a) speziell P1(0/-3).
mfG, Xell
P.S.: Meine Rechnung oben ist trotzdem richtig, da ich mich mit f(1) nur verschrieben, in Wirklichkeit aber f(0) eingesetzt habe. |
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