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Nadja (Blueelefant)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 21:33: | 
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Hallo,dies ist meine erste Frage an Euch,aberich glaube nicht die letzte:
1/(x-1)*(x-2)-2/(x-2)*(x-4)=3/(1-x)*(x-4)
gesucht ist x |
sunshine
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 22:06: |
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Hallo Nadja!
So wie Du die Gleichung aufgeschrieben hast, gehe ich mal davon aus, daß jeweils zwei Klammerterme unter dem Bruchstrich stehen, oder?
Wenn man alle Terme auf eine Seite bringt und die einzelnen Brüche addiert (Hauptnenner!), sieht die Gleichung wie folgt aus: (2x-8)/((x-1)*(x-2)*(x-4))=0. Ein Bruch ist immer genau dann null, wenn sein Zähler null ist, d.h. es bleibt die Gleichung 2x-8=0 zu lösen. Hieraus ergibt sich x=4, dieses kann aber keine Lösung sein, da ein Klammerterm im Nenner dann null wäre. Dieses würde also bedeuten, daß wir durch null teilen müssten, was aber unzulässig ist. Die Lösungsmenge für die Gleichung ist somit die leere Menge. |
Nadja (Blueelefant)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 20:41: |
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Hallo sunshine!
Merci für Deine Hilfe,aber so ganz schlau bin ich daraus noch nicht geworden!Wie kommst Du auf 2x-8? Kannst Du mir den Lösungsweg vielleicht etwas genauer aufzeigen? Hauptnenner suchen bei solchen Gleichungen ist mir auch nicht so ganz klar.
Vielleicht kannst Du mir auch hier noch auf die Sprünge helfen? |
sunshine
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 02:16: |
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Ok, das kriegen wir garantiert hin. Also fangen wir nochmal ganz vorne an (diesmal auch ein wenig anders). Du hast die Gleichung 1/[(x-1)(x-2)]-2/[(x-2)(x-4)]=3/[(1-x)(x-4)]. Als erstes bestimmen wir den Definitionsbereich. Dazu schauen wir uns jeweils die einzelnen Nenner der Brüche an. Da man ja nicht durch null teilen darf, darf keiner der Nenner null werden. Dieses ist aber der Fall, wenn x=1 oder x=2 oder x=4 ist. Wenn x z.B. eins wäre, würde der erste Bruch ja so aussehen: 1/[0(x-2)]=1/0, das ist aber ja nicht erlaubt. Generell können also alle Zahlen, außer 1, 2 und 4 Lösung der Gleichung sein.
Gut, als nächstes subtrahieren wir den Term 3/[(1-x)(x-4)], die Gleichung sieht dann wie folgt aus: 1/[(x-1)(x-2)]-2/[(x-2)(x-4)]-3/[(1-x)(x-4)]=0. Danach fassen wir die einzelnen Terme zusammen, hierzu bringen wir die Gleichung auf den Hauptnenner [(x-1)(x-2)(x-4)]. Wie Du schnell siehst, nachdem Du den dritten Term mit (-1) erweitert hast (um den Term (1-x) in die Form (x-1) zu bringen), ist der Hauptnenner ganz einfach das Produkt der verschiedenen Klammerterme. Wir erweitern also den ersten Bruch mit (x-4), den zweiten mit (x-1) und den dritten mit (x-2) und erhalten somit [1(x-4)-2(x-1)-3(x-2)]/[(x-1)(x-2)(x-4)]=0. Wenn wir den Zähler nun ausmultiplizieren und zusammenfassen erhalten wir (-4x+4)/[(x-1)(x-2)(x-4)]=0 (hab mich somit also beim ersten Mal in der Schnelle beim Zähler verrechnet gehabt, sorry). Wenn man die Gleichung nun mit dem Nenner multipliziert, bleibt lediglich (-4x+4)=0. Hieraus ergibt sich durch einfaches Umformen x=1. Dieses kann aber nach unseren Überlegungen am Anfang keine Lösung sein, da wir ja sonst durch null teilen würden. Die Lösungsmenge ist somit die leere Menge.
Hoffe, daß ich Dich mit meinem Rechenfehler beim ersten Mal nicht all zu sehr verwirrt habe und es diesmal etwas verständlicher war.
Viele liebe Grüße... |
Nadja (Blueelefant)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. April, 2001 - 23:41: |
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Hallo sunshine! Ich bin´s nochmal,tut mir leid, aber ich glaub ,das stimmt immer noch nicht!? Wenn ich, wie Du sagst den dritten Term mit (-1) erweitere, wird aus (1-x) zwar (x-1), aber aus (x-4) müßte doch dann (-x+4) werden oder? Und den Zähler muß ich doch auch mit (-1) erweitern oder?
Please help me! Gruß Nadja |
sunshine
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 01:19: |
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Mhhh, da hast Du recht. Man sollte nachts um drei vielleicht doch nicht unbedingt Matheaufgaben rechnen... Naja, auf jeden Fall muß man den Zähler natürlich auch mit (-1) erweitern, wenn man den Nenner mit (-1) erweitert. Das ist mir letzte Nacht wohl entfallen. Die Gleichung sieht dann natürlich so aus: [1(x-4)-2(x-1)+3(x-2)]/[(x-1)(x-2)(x-4)]=0, so daß der Zähler zusammengefaßt doch wieder (2x-8) beträgt. Als Ergebnis erhalten wir dann wie beim ersten Mal x=4 und somit die leere Menge als Lösungsmenge.
Deine Annahme, daß beim Erweitern des Bruches mit (-1) aus dem Term (x-4) auch (-x+4) wird, ist leider falsch. Erweitert sieht der Bruch wie folgt aus: (-1)(1-x)(x-4). Multipliziert man die ersten beiden Klammern aus, ergibt sich (-1+x)(x-4). Wahrscheinlich hast Du das ganze einfach mit dem Distributivgesetz [x(y+z)=xy+xz] verwechselt. Würde zwischen dem (1-x) und dem (x-4) ein "+" stehen, wäre Deine Annahme nämlich richtig.
Viele Grüße und ein schönes Wochenende... |
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