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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 1999 - 11:03: | 
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diskutiere: fa(x) = (ax^3 + 9x) : (18(x^2 - 1)),
a aus reelle Zahlen!
Extrema, Steigungsverhalten, Wendepunkte,
Krümmungsverhalten |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 1999 - 16:28: |
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Was ist daran schwer?
Den Parameter a mußt du einfach wie eine Konstante
behandeln!!! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 1999 - 17:08: |
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Wenn es so leicht wäre, hätte ich nicht
hier inseriert!
Könntet ihr bitte mal nachrechnen? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 1999 - 20:59: |
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Definitionsbereich ist IR\{-1;1}
Zunächst betrachten wir mal einen sehr speziellen Fall : a=-9
Dann ist f(x) = -9x(x2-1) : 18(x2-1) = -x/2
Für alle anderen Fälle liegt eine "echte" gebrochenrationale Funktion vor,die Du normal weiter diskutieren kannst.
Nullstellen sind x=0 und für a<0 auch x=+-Wurzel(-9/a)
Für die Ableitungen ist es günstig zunächst den ganzrationalen Term durch Polynomdivision abzuspalten :
fa(x) = (a/18)x + ((a+9)/18)* x:(x2-1)
fa'(x) = a/18-((a+9)/18)*(x2+1):(x2-1)2
fa''(x) = -((a+9)/18)*(-2x3-6x):(x2-1)3 = (a+9)/9*(x3+x):(x2-1)3
x=0 ist also einzigste Wendestelle und Extremwerte liegen dort,wo a(x2-1)2-(a+9)(x2+1)=0
bzw. ax4-3ax2-9x2-9 = 0 .Das ist eine biquadratische Gleichung,die Du sicher allein lösen kannst(Setzte t=x2,dann hast Du eine quadratische Gleichung).
Allerdings : ALLE ANGABEN OHNE GEWÄHR !
Denn bei sowas verrechnet man sich schnell.
TIP : Überprüfe die Ergebnisse indem Du für a einen speziellen Wert einsetzt und die so erhaltene Funktionen vom Funktionsplotter anzeigen läßt. |
Tim Hackstedt
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 1999 - 01:08: |
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Hey Leute,ich schreibe am 7.Januar eine Hammer-Mathe-Klausur(oberes Leistungskursniveau).
Ich benötige bis dahin soviel Übungsaufgaben(am besten mit Lösung/Lösungsskizze...) zu folgenden Themen:
1)Polynome 4.Grades (Hilfe!!)
2)Determinanten mit Buchstaben(3*3 Det.)
3)Lineare Gleichungssysteme nach Gaus(Rang,homogene Gleichungss. etc)
4)Diskutieren von Kurven mit Parametern(Polynome)!!!!!
5)Betragsfunktionen
6)Infos zu Sekanten !?!
Vielen lieben Dank an alle!!! |
Jan
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 1999 - 13:26: |
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Grundsätzlich hat der Typ mit seiner ersten Antwrt recht, wenn ert sagt, a soll nicht groß beachtet werden.
Um dir das mal zu zeigen.
Nehmen wir deine ganzrationale Funktion 4. Grades
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
f´(x)=4ax^3+bx^2+cx+d (e fällt heraus)
Du beachtest also a nicht weiter:
a ist nur ein Faktor. Mit diesem Faktor wird die Stammfunktion UND die gebildete Ableitung multipliziert, also
f(x) = a * x^4
f´(x) = a * 4x^3 |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 1999 - 17:56: |
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Wenn ich die biquadratische Gleichung durch Ersetzen von x^2 = t auflöse, erhalte ich folgenden Term:
t1/2 = (3a + 9 ± Wurzel(9a^2 + 90a + 81)) : 2a
Mit einer Fallunterscheidung habe ich ermittelt, wann die Diskriminante größer, kleiner oder gleich 0 wird. Die Fälle D kleiner als 0 und D gleich 0 stellen kein Problem dar.
Für a größer als -1 oder a kleiner als -9 wird D größer als 0. Problem: Wie löse ich o. g. Term nach x auf (Ich muß dabei ja beachten, daß t1/2 insgesamt nicht kleiner als 0 wird , denn dann kann ich ja keine Wurzel ziehen.)? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 1999 - 23:31: |
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Zunächst noch eine Anmerkung : Wenn Du in Deiner Darstellung 9 aus der Wurzel ziehst,kannst Du den Term noch etwas vereinfachen :
t=3(a+3±Wurzel((a+9)(a+1))) : 2a
Da t=x2 ist x=±Wurzel(t)
Um nun zu berechnen,wo die Wurzel überhaupt definiert ist,mußt Du Fallunterscheidungen durchführen und zwar so,daß Zähler und Nenner unter der Wurzel dasselbe Vorzeichen aufweisen. Durch quadrieren der Gleichung a+3±Wurzel((a+9)(a+1))>0 (bzw. <0) müßtest Du zu einem Ergebnis kommen.
Aber wie bereits gesagt : Überprüfe das Ergebnis nochmal durch ein Paar Beispiele. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Dezember, 1999 - 10:00: |
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Wenn ich o.g. Quadrierung durchführe, muß ich dann
das Ungleichheitszeichen umdrehen oder nicht? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Dezember, 1999 - 12:19: |
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Ich habe echte Probleme mit den Fallunterscheidungen!!! Wie löse ich die oben genannte Ungleichung? Könnte bitte jemand nachrechnen, was sich für relative Extrema ergeben? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Dezember, 1999 - 23:22: |
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Wie ich bereits sagte müssen Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben.Du hast also zwei Fälle zu betrachten(Von der Wurzeldefinition zunächst mal abgesehen).Außerdem benötigst Du die Gleichungen (a+9)(a+1)=a2+10a+9 und (a+3)2=a2+6a+9
Jetzt die Fallunterscheidung :
(1) a>0
=>Ö[(a+9)(a+1)] > a+3 > 0
<=> a+3-Ö[(a+9)(a+1)]<0
Also muß das "+" Zeichen genommen werden,da t sonst negativ wäre und x2=t nicht lösbar.
(2) a<0(wegen der Wurzel sogar a<-9)
=> Ö[(a+9)(a+1)] < |a+3|
=> a+3+Ö[(a+9)(a+1)]<0
Hier muß das "-" Zeichen genommen werden.
Insgesamt ergibt das folgende Extremstellen :
a>0 : x=+-Wurzel[3/2a*(a+3+Wurzel((a+9)(a+1)))]
-9£a£0 : kein Extrem
a<-9 : x=+-Wurzel[3*2a(a+3-Wurzel((a+9)(a+1)))]
Also doch nicht ganz so einfach,wie es der 2.Anonyme Schreiber vermutete.
Übrigens : Die Funktion ist für jeden Parameter a Punktsymmetrisch zum Ursprung. |
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