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Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. November, 1999 - 18:21: | 
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Die Funktion f(x)=(x*cosh(2x))/(1-x) soll an der Stelle x0=0 bis zu den Potenzen x6 in eine Potenzreihe entwickelt werden.
Ich habe jetzt numerisch eine Taylor-Reihe entwickelt:
f(x)=0+(1/1!)x+(2/2!)x2+(18/3!)x3+(72/4!)x4+(440/5!)x5+(2640/6!)x6+REST
Wie kann ich den Konvergenzradius bestimmen, wenn ich keine allgemeine Bildungsvorschrift habe und somit auch nicht die allgemeinen Glieder an kenne mit denen ich den Konvergenzradius r nach folgenden Formeln berechnen könnte?
r = 1/(lim n®¥ (an)(1/n))
r = lim n®¥ (an/an+1) |
Clemens
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. November, 1999 - 17:32: |
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Hi!
Tatsache ist, daß der Konvergenzradius hier genau 1 beträgt.
Größer kann er ja wohl nicht sein, da f(x) bei 1 eine Singularität hat, und zwar einen Pol 1.Grades.
Du hast recht damit, daß du den Konvergenzradius nicht berechnen kannst, außer du versuchst alle Ableitungen auszurechnen. Aber es gibt einen Satz aus der Funktionentheorie der da sagt, daß eine Funktion die in einem offenen Kreis holomorph ist (d.h. komplex differenzierbar) in eine Potenzreihe entwickelbar ist die in selbigem Kreis konvergiert.
x ist holomprh, cosh ist holomorph, und 1/(1-x) ist im Kreis um 0 mit Radius 1 holomorph. f ist nur ein Produkt holomorpher funktionen und somit ebenfalls holomorph. Also ist der Konvergenzradius von f im Entwicklungspunkt 0 genau 1.
Weiß halt nicht, ob ihr so einen Satz verwenden dürft. |
Stefan
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 1999 - 22:26: |
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Danke Clemens. Ich hatte schon befürchtet das ich um die einzelnen Ableitungen nicht herum komme. Nichts desto Trotz fand ich deine Erklärung über die Holomorphie ganz schlüssig. Kannst du mir vielleicht ein Buch/Link empfehlen? Bei mir hüllen sich nämlich sämtliche Bücher in dieser Beziehung in dezentes Schweigen. |
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