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Grenzwert

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Folgen und Reihen » Grenzwert « Zurück Vor »

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Anna
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Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 14:28:   Beitrag drucken

Hallo Ihr,
Aufgabe ist folgende :
Untersuche auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert für n gegen unendlich:

(n+1)!
------
(n) hoch (n+1)

Bedeutet das ! Faktorisieren und wenn , wie mach' ich das ??
Danke schon mal
Gruß Anna
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osterhase
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Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 15:43:   Beitrag drucken

Nur eine kleine Starthilfe: n! heißt n-Fakultät und bedeutet 1*2*3*...*(n-1)*n
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Xell
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Veröffentlicht am Dienstag, den 17. April, 2001 - 03:18:   Beitrag drucken

Ich nenne die Folge mal An
Also:
An=(n+1)!/nn+1=1*2*3*..*(n-1)*n*(n+1)/nn+1=1/n*2/n*...*n/n*(n+1)/n=1/n*2/n*...*1*(1+1/n)

Þ limn®¥ An=0*0*...*1*(1+0)=0

Sollte etwas unklar sein, so melde dich bitte...
mfG
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Xell
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Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 23:52:   Beitrag drucken

Bitte um Rezension bzw. Rückmeldung, falls es richtig ist.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 10:02:   Beitrag drucken

Hallo :

Die Schlussweise von Xell ist unzulaessig, denn
die Anzahl der Faktoren des Produktes haengt
von n ab !

Wir wenden die Ungleichung zwischen dem arithmetischen - und geometrischen Mittel auf
(n+1)! an :

(n+1)! < [(1+2+...+(n+1))/(n+1)]^(n+1)

= [(n+1)(n+2)/(2(n+1))]^(n+1)

= [(n+2)/2]^(n+1)

==> A_n < [(n+2)/(2n)]^(n+1)

==> A_n < (1/2)^(n+1)*(1+2/n)*(1+2/n)^n .......(*)

Nun gilt fŸr n-> oo :

(1/2)^(n+1)->0 , 1+2/n->1, (1+2/n)^n -> e^2.

Die rechte Seite von (*), und damit auch A_n,
strebt also gegen 0.
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Xell
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Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 10:38:   Beitrag drucken

(n+1)! besitzt n+1 Faktoren, wenn wir 1 dazuzählen.

nn+1 lässt sich schreiben als n×n×n×n... (n+1 mal)

Z.B. für n=10:
A10=(10+1)!/1010+1=11!/1011=1×2×3×...
×11
/10×10×10×...×10=1/10×1/5×3/10×...×11/10=0,039...

Das Ergebnis erhalte ich durch die ursprüngliche Gleichung und auch durch meine Umformung.
Somit handelt es sich bei Zähler und Nenner um n+1 Faktoren.
Also weisen Zähler und Nenner gleich viele Faktoren auf.
Also kann meine Vereinfachung durchgeführt werden.
Natürlich hängen die Faktoren im Nenner von n ab, wie im Zähler aber auch. Es sind genau n+1.
Wo soll da der Fehler sein?

mfG, Xell
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Xell
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Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 10:42:   Beitrag drucken

Ich sehe momentan nicht das Problem, zumal n eine natürliche Zahl sein soll.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 17:39:   Beitrag drucken

Du benutzt die "Gleichung"

lim[n->oo]{(1/n)*(2/n)*...*(n/n)} =

lim[n->oo]1/n * lim[n->oo]2/n*...*lim[n->oo]n/n.

Das ist unzulaessig, denn mit n->oo geht auch
die Anzahl der Faktoren rechts gegen unendlich,
d.h. die rechte Seite ist Ÿberhaupt nicht definiert

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