| Autor |
Beitrag |
    
Barbara
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. April, 2001 - 14:11: | 
|
Der Querschnitt eines kanals soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Sein Flächeninhalt soll 6,8 m² betragen. Welche Masse muss der Kanal haben damit möglichst wenig material benötigt wird(d.h. Der Umfang des querschnitts minimal wird)
Danke schon mal.... |
Michael
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. April, 2001 - 15:39: |
|
Die Höhe des Rechtecks ist a, die Breite ist 2r=d.
Der gesuchte Umfang besteht aus 2 mal der Höhe des Rechtecks sowie dem Umfang des Halbkreises, da der Kanal nach oben offen ist:
U=2a+pi*r
Die Fläche des Kanals ist: F=a*2r+pi*r²/2
Das stellen wir nach a um:
a=F/(2r)-pi*r/4
Das setzen wir in U ein:
U(r)=F/r-pi*r/2+pi*r
U(r)=F/r+pi*r/2
Jetzt leiten wir U(r) ab:
U´(r)=-2F/r²+pi/2=0
r=2*wurzel(F/pi)=2,942 m
in Gleichung für a einsetzen: a=2,38 m
Bitte nachrechnen! |
Barbara
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 18:43: |
|
Stimmt leider nicht!
also im Löser steht r= Wurzel aus 13,6/(4+pi)
kannst du mir erklären wie ich auf das komme????
BITTE |
conny (Conny)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 21:12: |
|
Hi
Also ich kann bei den Berechnungen oben keinen Fehler entdecken, außer dass die Ableitung von F/r nicht -2F/r², sondern -F/r² ist.
Das ändert den Radius allerdings nur zu
r=Wurzel(F/pi/2)=Wurzel(13,6/pi). Wo die 4 im Löser herkommt weiß ich nicht. |
Lerny
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 09:28: |
|
Hi Barbara,
ich weiß, wo die 4 herkommt.
Die Aufgabenstellung ist missverständlich.
In der Aufgabe sollte es besser Tunnel heißen.
Geht man nämlich von der Annahme aus, dass der Kanal oben geschlossen ist, so erhält man für den Umfang
U=2a+2r+pi*r
mit a=3,4/r-(pi*r)/4 folgt dann
U=6,8r-(pi*r)/2+2r+pi*r und damit
U'=-6,8/r²-pi/2+2+pi
U'=0 => r²=13,6/(pi+4)
r=Wurzel(13,6/(pi+4)) also die angegebene Lösung
Lerny |
Craig
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. November, 2001 - 13:40: |
|
Die Aufgabe macht nicht soviel Sinn, wenn es ein offener Kanal wäre, da der Umfang dann minimal würde, wenn der Kanalquerschnitt nur aus einem Halbkreis bestünde.
U(r)=F/r+pi*r/2
U'(r)=-F/r² +pi/2
U'(r)=0
-F/r² +pi/2 = 0
pi/2 = F/r²
r² = 2F/pi
r = Ö(2F/pi)
in
F=a*2r+pi*r²/2 eingesetzt,
F=a*Ö(2F/pi) +pi*(Ö(2F/pi))²/2
F=a*Ö(2F/pi) +pi*2F/pi/2
F=a*Ö(2F/pi) +F |-F
0 = a*Ö(2F/pi)
Hieraus folgt sofort, dass a=0 sein muss, denn F ist nicht gleich Null.
Wenn die eine Rechtecksseite a=0 ist, dann wird der Querschnitt zu einem Halbkreis.
Die Extremstelle des Umfangs liegt am Rand des Definitionsbereiches der Kanalabmessungen. |
|
