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Wasserrinne

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korn-freak666
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. April, 2001 - 15:59:   Beitrag drucken

Bitte helft mir schnell!
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen.

Drei bretter die gleich Breite b haben, sollen zu einer Wasserrinne zusammengebaut werden, deren Querschnitt ein gleichschenkliges Trapez ist. Unter welchem Winkel müssen die Bretter zusammenstoßen, wenn das Fassungsvermögen maximal werden soll?

Höchstwahescheinlich enthält die Zielfunktion einen trigionometrischen Ausdruck(sin, cos, tan)

(Leistungskurs Mathe Klasse 11)

Die Aufgabe stammt aus "Arbietsheft Analysis II Leistunhskurs", Paetec Verlag

Vielen Dank schon mal
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Lerny
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. April, 2001 - 19:57:   Beitrag drucken

Das Volumen der Wasserrinne ist maximal, wenn der Flächeninhalt des Trapezes maximal ist.
A=(a+c)/2*h
A=(b+c)/2*h
Sei c=b+2x, dann folgt A=(2b+2x)/2*h
Wegen cosa=h/b => h=b*cosa
und sina=x/b => x=b*sina und damit
A=(2b+2b*sina)/2*(b*cosa)
A=b²cosa*(1+sina)
A'(a)=-b²sina*[1+sina]+b²cosa*cosa
=b²*[-sina-(sina)²+(cosa)²]=0
<=>-sina-(sina)²+(cosa)²=0
wegen (cosa)²=1-(sina)² folgt
-sina-(sina)²+1-(sina)²=0
2*(sina)²+sina-1=0
Substitution mit u=(sina)² ergibt
2u²+u-1=0 |: 2
u²+0,5u-0,5=0
mit p-q-Formel folgt u=0,5 und u=-1, wobei letztere keine Lösung ist.
(sina)²=0,5 => sina= +- 0,71
=> a=+-45°
Folglich muss der Winkel am Boden der Rinne 135° sien.
Prinzipiell müsste mit der 2. Ableitung noch überprüft werden, ob dies wirklich ein Maximum ist. Ich denke, das solltest du selbst machen.

mfg Lerny
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Zorro
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. April, 2001 - 21:40:   Beitrag drucken

Hi Lerny, Moment mal...

Du hast doch folgendes substituiert
sin(a)=u, und nicht sin2(a)=u

Entsprechend sollte bei der Rücksubstitution auch sin(a)=0,5 herauskommen.

Gruß, Zorro
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Lerny
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. April, 2001 - 08:44:   Beitrag drucken

Sorry Fehler!

Hast recht Zorro. Ich habe sin(a)=u substituiert. Folgt also sin(a)=0,5 bzw. sin(a)=-1 und damit a=30° bzw. a=-90°
Mit 2. Ableitung folgt
A'(a)=b²*[-cosa-4sina*cosa]
A'(30°)=-2,590b²<0 =>max
Also muss der Winkel 90°+30°=120° sein.

Hoffentlich ist es jetzt richtig.

mfg Lerny

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