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Beitrag |
    
Katharina Stefanie (Idaisy)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 18:43: | 
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Hi Leute,
folgende Aufgabe kann ich nicht lösen:
gegeben ist die die Kurve: f(x)=1/8x^4+1/2x^2-3/8
Erstelle die Gleichung der Tangente an die Kurve für den Berührpunkt B(-4;f(-4))
Ermittle die Extremwerte der Kurve.
Da muss ich doch erst ableiten und dann??
Bei den Extremwerten muss ich doch die Nullstellen bestimmen oder?ß wie mach ich denn das?
Dann noch diese Aufgabe:
gegeben ist die Kurve: f(x)=x^3-9x^2+15x-7
Ermittle die Gleichung der tangente deren Steigung nur einmal vorkommt.
wieso nur einmal??
Dann dazu noch die Extremwerte.
Als letzte Aufgabe:
Gegeben ist die Kurve: f(x)=-x^4+x^3
Wo schneidet die Tangente die Kurve erneut?? Begründe die Antwort nach Rechnung:
Ich hoffe ihr könnt mir das am besten am kokreten Beispiel vorrechnen.
Danke im Voraus
Katharina |
Liselotte
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 20:35: |
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Hi Katharina,
Siehe
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/28/14035.html?986578809 |
Conny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. April, 2001 - 18:06: |
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Hi Katharina
Ja, um die Tangente bestimmen zu können musst du ableiten:
f'(x)=1/2x³+x
Dann noch f(-4) ausrechnen: 1/8*(-4)^4+1/2(-4)²-3/8= 32+8-3/8= 39/5/8= 39,625
Jetzt setzt du -4 (die x-Koordinate des Berührpunkts) in die Ableitungsfunktion ein, um die Steigung der Tangente zu finden: f'(-4)=-32-4=-36
Die tangente hat folgende Form:
y=mx+b wobei m die Steigung ist, also -36
Einen Punkt auf der Tangente kennst du ebenfalls nämlich den Berührpunkt den sie mit der Funktion gemeinsam hat: (-4/39,625)
Nun das ganze noch in die Gleichung einsetzen, und nach b auflösen:
x=-4;y=39,625;m=-36
39,625=-36*-4+b
b=39,625-144=-104,375
---> y=-36x-104,375
Um die Extremstellen zu finden musst du die Nullstellen der Ableitung finden nicht die der Funktion. Auf dem Schaubild sind das die "Berge" und "Täler", da wo die Funktion vom kleiner zum größer werden übergeht oder andersrum:
f'(x)=0 --> 1/2x³+x=0 <-> x(1/2x²+1)=0
x1=0 und x2 wenn 1/2x²+1=0, das heißt x²=-2 ist. Die Gleichung hat keine Lösung daher gibt es nur eine Extremstelle.
Jetzt zur 2.Aufgabe.
Um überhaupt Tangentensteigungen finden zu können, musst du die Funktion erstmal ableiten:
f'(x)=3x²-18x+15
Das ist eine Parabel. stell' dir das Schaubild vor. Es hat einen Scheitel und links und rechts zwei gleiche Äste. Jeden Funktionswert gibt es also zweimal einmal rechts und einmal links vom Scheitel. Das heißt du musst den x-Wert des Scheitels finden, denn das ist der einzige zugehörige Funktionswert, den es nur einmal gibt und folglich die einzige Tangentensteigung die es nur einmal gibt.
Stellt sich also nur noch die Frage wie man den Scheitel einer Parabel findet: Am einfachsten geht es, wenn du die Parabel noch mal ableitest und dann den Extremwert findest, das heißt den Punkt wo die Ableitung 0 ist, denn das ist bei einer Parabel immer nur beim Scheitel der Fall:
f''(x)=6x-18=0 --> 6x=18 --> x=3
Das ist der x-Wert der Steigungsfunktion, den musst du jetzt nur noch in f'(x) und f(x) einsetzen um die Steigung und die Koordinaten des Berührpunkts zu erhalten:
f(3)=3³-9*3²+15*3-7= 27-81+45-7=16
f'(3)=3*3²-18*3+15=27-54+15=12
Jetzt kommt wieder das gleiche wie vorher:
y=mx+b
m=12
y=16
x=3
16=12*3+b
b=-20
Tangente: t(x)=12x-20 |
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