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Beitrag |
    
Consi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. April, 2001 - 18:59: | 
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Hi ! Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, ich bin am Verzweifeln...
Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades so, dass für den Funktionsgraphen gilt:
a) O ( 0/0) ist der Punkt des Graphen , W ( 2/ 4) ist Wendepunkt, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -3.
b) O ( 0/0) ist Wendepunkt , an der Stelle Wurzel aus 1/3 liegt ein relativer Hochpunkt, P ( 1/2) ist Punkt des Graphen.
Bitte gibt mir Lösungstipps!
Danke! Eure Consi |
Lerny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. April, 2001 - 19:56: |
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Hi Consi
eine Funktion 3. Grades hat die allgem. Form
f(x)=ax3+bx2+cx+d
Die Ableitungen sind dann
f'/x)=3ax2+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
f'"(x)=6a
a) O(0/0) eingesetzt: f(0)=d=0
w(2/4) eingesetzt: f(2)=8a+4b+2c+d=4<=>8a+4b+2c=4
W Wendepunkt: f"(2)=0 <=> 12a+2b=0
Steigung in W ist -3: f'(2)=12a+4b+c=-3
Das so erhaltene lineare Gleichungssystem lösen
d=0
a=-7/4=-1,75
b=21/2=10,5
c=-24
f(x)=-1,75*x3+10,5x2-24x
mfg Lerny |
conny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. April, 2001 - 20:15: |
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Hi
Also generell weißt du, dass für eine Funktion dritten Grades gilt:
y=ax³+bx²+cx+d
a) Du hast 4 Informationen:
f(0)=0
f(2)=4
f'(2)=-3 und
f''(2)=0
Das musst du jetzt nur noch einsetzen:
Aus f(0)=0:
0=a*0³+b*0²+c*0+d=0
--> d=0
--> y=ax³+bx²+cx
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
f''(2)=0:
0=12a+2b
--> 2b=-12a --> b=-6a
in y und y':
y=ax³-6ax²+cx
y'=3ax²-12ax+c
f(2)=4 und f'(2)=-3
4=a*2³-6a*2²+2c
-3=3a*2²-12a*2+c
----------------
4= 8a-24a+2c
-3=12a-24a+c (2)
------------
aus(2):12a-3=c
4=-16a+2(12a-3)
4=8a-6
10=8a
a=5/4
b=-6a=-6*5/4=-15/2
c=12a-3=12*5/4-3=12
---> f(x)=5/4x³-15/2x²+12
die b) geht ziemlich ähnlich nur
f(0)=0 ---> d=0
f''(0)=0
f'(wurzel(1/3))=0
f(1)=2
f(x) ist wieder ax³+bx²+cx
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
aus f''(0)=0:
0=6a*0+2b
2b=0
--> b=0
also
f(x)=ax³+cx und
f'(x)=3ax²+c
Jetzt musst du nur noch die anderen Punkte einsetzen et voila du bist fertig.
Hoffe ich konnte dir helfen.
Conny |
penelope
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. April, 2001 - 20:21: |
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Hey Lerny
Du hast dich irgendwo verrechnet in deinem Gleichungssystem. Bei dir ist f(2) nicht 4, sondern -20.
Gruß
penelope |
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