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Daniel
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Dezember, 1998 - 14:40: | 
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Hi, wer kann mir helfen, bei der folgenden Grenzwertbetrachtung. Ist eigentlich nur eine Wiederholung, aber ... ????
"Gegen welchen Grenzwert konvergiert die Folge an für n -> ¥, wenn
an = [(n+1)²-n²]/n".
Danke schon jetzt
Daniel |
UNLIMITED
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Januar, 1999 - 17:17: |
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Hi,
(n+1)²-n² = n²+2n+1-n² = 2n+1
Also ist an = (2n+1)/n = 2 + 1/n.
Da 1/n für n->¥ eine Nullfolge ist und 2 eine Konstante, gilt:
limn->¥an = 2 |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Januar, 1999 - 19:10: |
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Hallo
Schön das Ihr mir helfen wollt.
An sich ist diese Aufgabe garnicht so schwer.
Achilles läuft mit einer Schildkröte um die Wette. Beim Start hat diese, weil Achielles 10mal so schnell ist wie sie, einen vorsprung von 10m. Wenn Achilles den Startpunkt A der Schildkröte erreicht, ist diese bereits wieder in B, wenn Achilles nach B kommt, ist sie bereits in C usw. Also - so scliest Zeno - kann Achilles die Schildkröte niemals einholen.
Worin liegt der Trugschluß? Nach wieviel Meter holt Achilles die Schildkröte ein?
Vielen Dank für die Lösung
matthias |
PimalDaumen
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Januar, 1999 - 21:42: |
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Hallo Matthias,
erstmal eine kurze Vorbemerkung: Um eine neue Aufgabe hier in das ZahlReich-Board zu stellen, macht es Sinn, dafür "Neuer Beitrag" anzuklicken. Sonst ist es schwer, diese Aufgaben zu finden, da sie einfach an einer schon beantworteten hinten dranhängt.
Achilles passiert unendlich viele dieser Punkte, bevor er mit der Schildkröte auf gleicher Höhe ist. Zenon dachte, daß die Summe dieser unendlich vielen Zahlen eine unendliche Größe sein müsse, weshalb Achilles die Schildkröte nie nach einem endlichen Abschnitt einholen könne.
Es handelt sich hier aber um eine unendliche geometrische Reihe mit dem endlichen Ergebnis 11 1/9m. Dann sind beide auf gleicher Höhe und Achilles düst davon .... |
aline jahn
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 1999 - 10:49: |
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Hi ,ich hoffe es schaut hier mal einer rein ,es hendelt sich um eine Extremwertaufgabe,
z = cos²x+cos²y mit der Nebenbedingung
y = pi/4 +x,danke für Eure Mühen |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 1999 - 01:26: |
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Setzt man y in die z-Gleichung ein,dann erhältst Du z(x)=cos2(x)+cos2(x+pi/4)
z '(x)= 2cos(x)sin(x)+2cos(x+pi/4)sin(x+pi/4)
z '(x)=0 <=> 2cos(x)sin(x) = -2cos(x+pi/4)sin(x+pi/4)
Jetzt sollte man die Additionstheoreme von cos und sin anwenden :
cos(x+pi/4)=cos(x)cos(pi/4)-sin(x)sin(pi/4)
sin(x+pi/4)=sin(x)cos(pi/4)+sin(pi/4)cos(x)
also cos(x+pi/4)sin(x+pi/4)=[cos(x)/wurzel(2)-sin(x)/wurzel(2)]*[sin(x)/wurzel(2)+cos(x)/wurzel(2)]
=1/2*(cos2(x)-sin2(x))
Das noch in z'(x)=0 einsetzen : 2cos(x)sin(x)=-(cos2(x)-sin2(x)) <=> sin(2x)=-cos(2x) <=> tan(2x)=-1
=> x=1/2(-pi/4+k*pi/2)=pi/4 *(k/2-1) mit k aus Z
geschafft,puh ! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 1999 - 01:30: |
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Fehler:(k-1/2) statt (k/2-1) am Schluß,sorry. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 1999 - 01:45: |
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f(x):=cos²x+cos²(x+pi/4)
=1/2 (1+cos2x)+1/2 (1+cos(2x+pi/2))
=1+cos(2x+pi/4)cos(pi/4)
=1+cos(2x+pi/4)/Sqr(2), '''Sqr(2):"Wurzel 2"
f'(x)=-Sqr(2) sin(2x+pi/4).
Die Nullstellen von f' erhält man aus
2x+pi/4=k*pi,
wobei k die ganzen Zahlen durchläuft, also
x=k*pi/2 -pi/8.
f''(x)=-2Sqr(2)cos(2x+pi/4),
f''(k*pi/2 -pi/8)=-2Sqr(2)cos(k*pi) ist <0 für
k gerade (lokales Max, das für diese Aufgabe sogar global ist) und größer 0 für k ungerade (lokales Min, das für diese Aufgabe sogar global ist).
Max f=1+1/Sqr(2),
Min f=1-1/Sqr(2). |
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