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HantzBeta
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 18:47: | 
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hi leute,
für meine facharbeit soll ich die approximation der e-funktion anhand der taylorreihe zeigen.
ich versteh nur den grundgedanken dieser taylorschen reihen-formel irgendwie noch nicht... dazu hab ich folgende fragen:
a) was wird durch taylor genähert, die e-funktion selbst, ein beliebiger wert x oder ein gegen null gehender bereich x bis x0?
b) es heißt, dass eine übereinstimmung in möglichst vielen ableitungen vorhanden sein sollte; je mehr, desto genauer ist die näherung durch taylors formel. wessen ableitungen sind gemeint, die der e-funktion oder die einer weiteren funktion, die in einem punkt x0 mit den ableitungen der e-funktion übereinstimmt?
c) welche taylor-formel brauche ich zur näherung der e-funktion?
d) ich habe hier z.b. ein polynom f(a)+f'(a)(x-a), wozu brauche ich das?
e) kann/soll/muss ich diese summenformel für die näherung n-ten grades einsetzen? also die mit (f^(i)(a)/i!)*(x-a)^i für die summe i=0 bis n-1?
wahrscheinlich sind meine fragen eng miteinander verknüpft, d.h. wenn eine frage beantwortet wird, klärt das möglicherweise gleichzeitig eine andere... ich hab trotzdem mal viel gefragt, damit ihr erkennen könnt, wo mein verständnisproblem liegt.
EIN RIESEN DANKE IM VORAUS FÜR JEDE HILFE!!!
gruß,
hantzbeta |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 21:38: |
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Es wird bei Tayler-Reihen eine (beliebige) Funktion um einen Punkt angeähert; die Reihe konvergiert in einem von der Funktion und dem Punkt abhängigen Gebiet (man kann nicht generell sagen wie groß er ist; er hängt vom Fall ab; ich weiß es nicht genau, aber ich glaube, die Reihe kann unter Umständen auch divergieren; aber das gilt nicht für "normale" Funktionen wie e, sin , cos, Potenz... wobei bei Potenzfunktionen eine Tayler-Reihe sinnlos ist, da Tayler ja eine Reihe von Potenzen darstellt). Bei e-Funktion konvergiert sie in ganz R
Die Ableitungen der e-Funktion sind gemeint.
Die Mc-Laurin-Reihe (Tayler-Reihe mit x0=0) lautet: 1+x/1!+x²/2!+...+xi/i!+...
Es stellt die ersten beiden Glieder der Tayler-Reihe dar.
Das ist die allgemeine Tayler-Reihe für die e-Funktion. Für a=0 vereinfacht sich das zur Mc-Laurin-Reihe für e-Funktion, die oben steht. Prinzipiell ist das die Tayler-Reihe für e-Funktion; was anderes gibt's nicht. Die Summe kriegst du da kaum raus; mir ist kein Verfahren bekannt, das Potenzreihen so umformen würde, dass die Summe rausfällt. Vieleicht gibt's so was, ich weiß es nicht; aber ich glaubs nicht, und wenn doch ist es entweder saukompliziert oder statt der Summe baust du einen ziemlich komplizierten Term ein, so dass es sich nicht lohnt. Wenn n gegen unendlich geht, kannst du ja statt der Tayler-Reihe ex schreiben, aber das ist dann keine Tayler-Reihe mehr. |
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