| Autor |
Beitrag |
    
Mathias Albert (Matscher01)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 14:55: | 
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geg:
f(x)=-0,5x³+1,25x²+x-0,75
ges:Achsenschnittpunkte
Linearfaktorenzerlegung
Symmetrieverhalten |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 15:32: |
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Achsenschnittpunkte:
y-Achse: x = 0 Þ bei -0,75
x-Achse: Nullstellen. Also
f(x) = 0
d.h.
-0,5x3 + 1,25x2 + x - 0,75 = 0
-0,5(x3 - 2,5x2 - 2x + 1,5) = 0
x3 - 2,5x2 - 2x + 1,5 = 0
Faktorisieren gibt die Nullstellen, also suchen wir die Linearfaktorzerlegung.
Eine Lösung raten: -1 haut hin.
Der eine Linearfaktor ist also schon mal (x + 1).
Polynomdivision:
(x3 - 2,5x2 - 2x + 1,5) : (x + 1) = x2 - 3,5x + 1,5
Davon die Nullstellen mit Vieta:
-(p+q) = -3,5
p*q = 1,5
Þ p = 3, q = 0,5
Þ Linearfaktorzerlegung:
-0,5*(x + 1)*(x - 3)*(x - 0,5)
Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind also bei -1 , 0,5 und 3.
Symmetrieverhalten: Man kann zeigen, daß jede Funktion 3. Grades zu ihrem Wendepunkt Punktsymmetrisch ist. (Ziemlich einfach, mach mal.)
Dieser ist hier folgender:
f(x) = -0,5x3 + 1,25x2 + x - 0,75
f'(x) = -1,5x2 + 2,5x + 1
f''(x) = -3x + 2,5 = 0 (für Wendepunkt) Þ x = 5/6
f'''(x) = -3 = f'''(5/6) ¹ 0
=> Wendepunkt bei (5/6 | f(5/6)) = (5/6 | 143/216)
Keine Gewähr für evtl. Rechenfehler.  |
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