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Noxima
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 20:43: | 
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Hallo!
Aufgabe: In einem geraden Kreiskegel mit dem Grundkreis Radius r und der Höhe h soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden.
Bitte schnell berechnen ich brauchs morgen!!
Vielen, vielen Dank für eure Hilfe !!! |
Lerny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 21:50: |
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Hi Noxima
Sei y die Höhe und x der Radius des Zylinders. Nach dem Strahlensatz gilt dann:
(h-y)/x=h/r <=> r(h-y)=hx => x=r(h-y)/h
Für das Volumen eines Zylinders gilt: V=Pi*r2*h,
also V(y)=Pi*x2*y=Pi*[r(h-y)/h]2*y=Pi*r2*(h-y)2*y/h2=(pi*r2/h2)*[h2*y-2hy2+y3]
V'(y)=(pi*r2/h2)*[h2-4hy+3y2]=0
=> h2-4hy+3y2=0
Mit p-q-Formel folgt daraus y1=h; y2=h/3
V"(y)=(pi*r2/h2)*[6y-4h]
Für y=h folgt V"(h)>0 => min
Für y=h/3 folgt V"(h/3)<0 =>max
Jetzt noch x=r(h-h/3)/h=(2/3)r
Somit hat der gesuchte Zylinder einen Radius von (2/3)*r und eine Höhe von h/3.
mfg Lerny |
Thomas
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 22:06: |
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Hi!
Also, dann löse ich das mal für dich. Kann dir aber keine ausführliche Erklärung dazu abgeben, da ich nicht genug Zeit habe. 
h....Höhe des Kegels
r....Radius des Kegels
x....Höhe des Zylinders (unbekannt)
y....Radius des Zylinders (unbekannt)
Wir haben 2 Unbekannte, also suchen wir einen Zusammenhang zwischen den Beiden, damit wir nur noch mit einer Variable (x oder y) rechnen müssen.
Wenn du dir den Kegel aufzeichnest und einen Zylinder einzeichnest, solltest du dir das ganze mal von der Seite aus ansehen. Dann findest du über den STRAHLENSATZ den Zusammenhan:
(h-x) : y = h : r
--> y=[(h-x)r]/h
Die Funktion, von der wir das Maximum berechnen wollen ist das Volumen des Zylinders.
V=PI * y² * x
...für y einsetzen ergibt:
V=PI*x* [(h-x)r/h)]²
Ausmultiplizieren....
v=(x/h²)[r²(h²-2hx+x²)]=(xr²/h²)*(h²-2hx+x²)
Jetzt vereinfachen wir unserer Gleichung(die neue nenne ich P):
P=xh²-4hx+3x²
Für x erhalten wir 2 Lösungen:
x1=0 x2=(4/3)h
x2 ist unsere gesucht Lösung für die Höhe des Zylinders.
Jetzt noch in die y-Gleichung einsetzen, um den Radius des Zylinders zu erhalten und das wars.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
mfg, Thomas |
Thomas
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 22:08: |
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Hi!
Sorry, hab mich in der Eile bei der Lösung meiner Gleichung verrechnet. ;-))
Aber die richtige hast du eh schon oben stehen.
cu |
Noxima
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 17:16: |
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Hi Lerny, hi Thomas!!
Vielen Dank für eure Hilfe!!! |
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