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Sandra (Ava)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 12:22: | 
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Hallo ihr lieben,
mein Problem ist folgendes. Bisher hatten wir nur Beweise durch vollständige Induktion für Partialsummenfolgen. Das ist ja auch alles kein Problem und klappt bei mir super. Nun habe ich jedoch ein Beispiel, bei dem ich absolut nicht weis, wie ich den Induktionsbeweis führen soll. Vielleicht könnt ihr mir helfen?
Beispiel aus der Geometrie
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Gegeben seien n Punkte. Wieviele Strecken gibt es, die je zwei dieser Punkte verbinden?
Für n=1, 0 Strecken; n=2, 1 Strecke; n=3, 3 Strecken; n=4, 6 Strecken.
Behauptung: Es gibt n (n-1) / 2 Strecken.
Für n+1 lautet die Formel ja dann n²+n / 2.
Wie aber soll ich das jetzt im Induktionsbeweis mathematisch darstellen?
Bin für jede Hilfe dankbar.
Dann noch eine Frage: Was macht man, wenn ein Induktionsbeweis einmal nicht hinhaut (also wie stellt man das dann dar?).
Schönes WE,
Ava |
Thorsten Seddig (Thorstens)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 14:21: |
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Hallöchen Sandra,
also ich probiers mal...
Du kannst das nicht mit Induktion beweisen, weil dir ja die Vorraussetzungen nicht bekannt sind. Und genau um diese geht es, die mußt du finden.
Vorraussetzung ist einen Ausdruck zu finden, der genau die Entwicklung der Seiten zur Anzahl der Punkte wiederspiegelt.
Also...
Summe(von i=1 bis n) i - 1
bildet diese Entwicklung ab. Darauf gekommen bin ich durch praktische Überlegungen, wie sich der Zuwachs von Seiten verhält wenn die Punktanzahl sich um eins erhöht. Also es kommen immer genau soviele neue Seiten dazu, wie es zuvor Punkte gab.
Diese Summe mußt du dann noch Umformen:
Summe(von i=1 bis n) i - 1 = [Summe(von i=1 bis n) i] - n
Da die Summe(von i=1 bis n) i = (n(n+1))/2
Dann gilt:
Summe(von i=1 bis n) i - 1 = ((n(n+1))/2) - n
Forme dies um und du erhälst die Behauptung...
Gruß
Thorsten |
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