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jeff nilson (Dixon)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. März, 2001 - 19:05: | 
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Hilfe, keine Ahnung wie ich dieses Blatt voller Extremwertaufgaben lösen soll. Ich brauche Eure Hilfe, hier eine Aufgabe:
Einem geraden Kreiskegel soll ein zweiter Kegel mit möglichst grossem Volumen drart einbeschrieben werden, sodass seine Spitze in die Grundfläche des grossen Kegels fällt und die beiden Grundgflächen parallel sind. Wie gross muss die Höhe des Zweiten Kegels sein?
MFG
Dixon |
Lerny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. März, 2001 - 20:49: |
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Hi Jeff
Nenne die Höhe bzw den Radius im äußeren Kegel ha bzw. ra
entsprechend sind die Größen im inneren Kegel hi bzw. ri
Dann gilt nach dem Strahlensatz folgende Beziehung:
(ha-hi)/ha=ri/ra
=> ra*( ha-hi)=ri*ha
=> ra*ha-ra*hi=ri*ha
=> ra*ha-ri*ha=ra*hi
=> hi=(ra-ri)*ha/ra
Für das Volumen gilt:
Vi(ri)=1/3*Pi*ri2*hi
Vi(ri)=1/3*Pi*ri2*(ra-ri)*ha/ra
Vi'(ri)=1/3*pi*ha*/ra*(2ri*(ra-ri)-ri2)
=1/3*pi*ha/ra*(2ri*ra-3ri2)
Vi'(ri)=0
2ri*ra-3ri2=0
ri*(2ra-3ri)=0
ri=0 oder 2ra-3ri=0 =>3ri=2ra => ri=(2/3)ra
hi=(ra-ri)*ha/ra=(ra-(2/3)ra)*ha/ra
=(1/3)ra*ha/ra=(1/3)ha
Der Radius des inneren Kegels ist also 2/3 des Radius vom äußeren Kegel
Bei den Höhen ist die Höhe des inneren Kegels 1/3 der Höhe des äußeren Kegels.
Streng genommen müsste man noch mit der 2. Ableitung beweisen, das dies ein Maximum ist.
mfg Lerny |
jeff nilson (Dixon)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 10:47: |
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Vielen Dank Lerny, warst mir eine grosse Hilfe.
mfg |
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