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sylvia
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 18:23: | 
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hallo ihr.
meine aufgaben lauten:
1. Es gibt eine Schar von Parabeln pt, deren Graphen jeweils durch alle Extrempunkte von ft(x)=-(1/9)x^4+(2/3)t^2x^2 verlaufen. Ermitteln sie die Gleichung dieser quatr.Parabeln pt.
2. Geben sie die Menge aller Stammfunktionen Ft von der Funktion ft(siehe oben) an.Welche der Stammfunktion F2 verlaüft durch den Punkt R(1/0)?
Begründen sie ohne Rechnung, dass die Stammfunktion Ft an der Stelle x=Wurzel aus 6t eine Extremstelle haben.
bitte bitte helft mir so schnell wie möglich sonst verzweifle ich nächste woche bei der Matheklausur.ich habe nämlich wirklich keine ahnung wie man das macht.
danke schon im vorraus.sylvia |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. März, 2001 - 10:12: |
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Hallo Sylvia,
ich hab zwar auch nicht alles raus und Rechenfehler können sich auch eingeschlichen haben, aber hier meine Lösung:
Gegeben ist die Funktionsschar ft(x)=-1/9*x^4+2/3*t²x²
ft'(x)=-4/9*x³+4/3t²x=-4/9*x(x²-3t²)=-4/9*x(x+wurzel(3)t)(x-wurzel(3)t)
ft"(x)=-4/3*x²+4/3*t²
Extremwerte sind
1. x=0
ft"(0)=4/3*t²>0, ft(0)=0
Der Punkt (0/0) ist Minimum
2. x=±wurzel(3)t
ft"(±wurzel(3)t)=-4/3*3t²+4/3*t²<0, ft(±wurzel(3)t)=-1/9*9t^4+2/3t²*3t²=-t^4+2t^4=t^4
Die Punkte (±wurzel(3)t/t^4) sind Maxima
Gesucht sind jetzt die Parabeln pt(x)=ax²+bx+c, deren Graph durch diese drei Punkte geht.
Damit ergibt sich das Gleichungssystem
pt(0)= 0a + 0b + c = 0
pt(-wurzel(3)t)= 3t²a - wurzel(3)tb + c = t^4
pt( wurzel(3)t)= 3t²a + wurzel(3)tb + c = t^4
mit der Lösung c=0, b=0, a=t^4/(3t²)=1/3*t². Die gesuchte parabelschar ist also
pt(x)=1/3*t²x²
Die Stammfunktion von ft(x) ist
Ft(x)=ò(-1/9*x^4+2/3*t²x²)dx = -1/45*x^5 +2/9*t²x³ +c
Für F2(x)=-1/45*x^5 +8/9*x³ +c soll gelten
F2(1)=-1/45 +8/9 +c=(-1+40)/45 +c=13/15 +c=0, also c=-13/15
Wie man ohne Rechnung begründet, daß Ft bei x=wurzel(6)t einen Extrempunkt hat, weiß ich leider auch nicht.
Mit Rechnung ergibt sich ganz leicht, daß dieses x eine Nullstelle von ft und damit Extrempunkt von Ft ist.
muß man da vielleicht mit den Wendepunkten von Ft, also (0/0) und (wurzel(3)t/t^4) argumentieren? |
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