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Beitrag |
    
Marius Teha (Danteha)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 18:46: | 
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Ich weiss, es ist eine dumme Frage, aber irgendwie raff ich das nicht so :
Also, wieviele und welche Extremstellen hat die folgende Funktion :
f:x-> 1/2 x^3 - 1/8 x^4
Unser Lehrer hat gesagt es gibt nur eine Stelle, aberr ich krieg irgendwie x1=0 und x2=3 raus.
(wär net wenn ein Lösungsansatz dabei wär!)
Danke, DAN |
Ikarus01
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 20:08: |
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Hi DAN,
also:
Als allererstes bilden wir die Ableitungen:
f'(x) =3/2 x^2 - 1/2x^3
f''(x) =3x - 3/2 x^2
f'''(x)=3 - 3x
Dann stellen wir die notwendige Bedingung für Hoch bzw Tiefpunkte auf, die erfordert, dass die erste Ableitung null ist.
Also:
3/2 x^2 - 1/2x^3 = 0
Da kommt x1=0 (y1=0)und x2=3 (y2=3,375) raus.
So weit stimmen deine Lösungen einmal.
Nun müssen wir aber noch die x-Werte in die zweite Ableitung setzen um herauszufinden, ob sie wirklich Hoch bzw Tiefpunkte sind.
f''(3)=-4,5 < 0 -> Hochpunkt (hinreichende Bedingung erfüllt)
f''(0)=0 -> noch nichts erkennbar
Der x-Wert 3 ist also sicher ein Hochpunkt, aber mit dem x-Wert 0 können wir noch nichts anfangen, weswegen wir einfach mal nach den Wendepunkten schauen, was dazu führen kann, dass sich das Problem von alleine löst. Sollte es das nicht tun muss man eine Untersuchung auf Vorzeichenwechsel machen:
notwendige Bedingung für Wendestellen ist, dass die 2. Ableitung null ist:
3x - 3/2 x^2 = 0
x3=0 (da ist der Wert wieder)
x4=2
nun muss man in die 3. Ableitunge einsetzen, um zu schauen, ob es wirklich eine Wendestelle ist:
f'''(0)=3>0 -> Wendestelle W1(0/0)
f'''(2)=-3<0 -> Wendestelle W2(2/2)
Das sollte reichen.
mfg
Ikarus01 |
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