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Timo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 18:08: | 
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Hallo!
Kann einer von Euch beweisen, dass jede monoton fallende Folge gegen ihr Infimum konvergiert??? Ich verzweifle noch.
Wäre toll. Danke im Voraus |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 16:40: |
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Du meinst jede beschränke monoton fallende Folge. Sonst hat sie nicht sicher ein Infimum.
Nennen wir das Infimum A, die Folge an. Definitionsgemäß gilt für A:
(i) Für alle natürlichen Zahlen k gilt:
ak ³ A
(ii) Es gibt kein B > A, für das gilt: Alle ak sind größer als B.
Þ zu jedem e > 0 gibt es ein k, so daß
0 < ak - A < e,
im Klartext: zu jedem noch so kleinen e es gibt ein Glied der Folge, deren Abstand von A kleiner ist als dieses e.
Warum es das gibt? Nehmen wir an, es gäbe ein e ohne entsprechendes k, das hieße dann,
ak - A ³ e für jedes k.
Also ak ³ A + e > A + greek{e}/2 für jedes k.
D.h., B = A + e/2 beispielsweise wäre kleiner als alle Glieder der Folge. Das ist aber ein B > A und steht somit im Widerspruch zu (ii). => Annahme falsch, zu jedem e gibt es ein passendes k.
Da aber die Folge an monoton fallend ist, passiert folgendes: Für jedes e können wir ein k finden, für das ak näher als e an A liegt. Da aber alle weiteren ak kleiner/gleich sind, sind diese also erst recht näher als e an A.
Sie erfüllen gerade die Definition der Konvergenz gegen A: Für alle e > 0 gibt es ein k, so daß gilt:
m ³ k Þ | am - A | < e |
Timo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 17:42: |
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Hallo Ysanne,
vielen Dank, ich muss mich dann heute abend erstmal richtig damit befassen.
Machs gut |
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