| Autor |
Beitrag |
    
martin2081
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 14:24: | 
|
Ich bräuchte ganz dringend die Beweise für folgende Summensätze:
sin(a+b) = sin(a)·cos(b) + cos(a)·sin(b)
cos(a-b) = cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b)
tan(a+b) = [tan(a) + tan(b)]/[1 - tan(a)·tan(b)]
Danke im Voraus
Martin |
Niels
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 17:10: |
|
Hi Martin,
die Beweise dieser Additionstheoreme findest du im Achiv!!!!
Gruß N. |
Lars Weiser
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 17:25: |
|
Hallo Martin, hier die Lösungen
(1) cos(a+b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
Beweis:
exp(i·(a+b))=exp(ia)exp(ib)=(cos(a)+isin(b))(cos(b)+isin(a))=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)+i(sin(a)cos(b)+cos(a)+sin(b))
...und...
exp(-i·(a+b))=exp(-ia)exp(-ib)=(cos(a)-isin(a))(cos(b)-isin(a))=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)-i(sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b))
Beide Gleichungen addieren:
exp(i·(a+b))+exp(-i·(a+b))=2(cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b))
<=> [exp(i·(a+b))+exp(-i·(a+b))]/2=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
<=> cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) Q.E.D,
denn in der Analysis definiert man:
i. cos(x):=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
ii. sin(x):=[e^(ix)-e^(-ix)]/2i
iii. tan(x):=sin(x)/cos(x)
(2) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
Beweis:
folgt fast in Analogie zu (1)
(3) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)]
Beweis:
tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=[sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)]/[cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)] (nach Def. iii u. (1) u. (2))
=[tan(a)cos(b)+sin(b)]/[cos(b)-tan(a)sin(b)] (gekürzt mit cos(a)!)
=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] Q.E.D.
MfG Lars |
martin1265
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 19:16: |
|
super!!
danke |
|
