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Beitrag |
    
Meniac
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. November, 1999 - 20:45: | 
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f(x) = (x^2 - 1) / (x^2 + ax + b)
a) Bestimme "a" und "b" so, daß die Tangenten in den Nullstellen des Graphen sich rechtwinklig schneiden.
Bitte mit sehr ausführlichen Rechenweg. DANKE!
by |
spockgeiger
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. November, 1999 - 21:39: |
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hallo meniac
1)
die nullstellen sind da, wo der zaehler 0 wird:
Z=x^2-1=0
x= +- 1
2)
die steigung der tangente ist gleich der ersten ableitung:
f'(x)=[2x(x^2+ax+b)-(x^2-1)(2x+a)]/(x^2+ax+b)^2
3)
zwei geraden schneiden sich genau dann im rechten winkel, wenn die eine steigung gleich minus eins durch die zweite steigung ist, als formel also:
f'(x1)=-1/f'(x2)
da wir aus 1) schon wissen, dass x1 und x2 1 und -1 sind, setzen wir dass in die ableitung ein:
[2(1+a+b)-(1-1)(2+a)]/(1+a+b)^2=-(1-a+b)^2/[-2(1-a+b)-(1-1)(-2+a)]
ein paar erklaerungen: auf der rechten seite habe ich statt eins durch den term den kehrbruch genommen, dass ist das gleiche.
auf jeder seite kommt ein term vor mit (1-1) mal irgendwas, das ist aber 0 mal irgendwas, also 0.
auf der linken seite kommt der term (1+a+b) im zaehler vor, waehrend er im nenner zum quadrat vorkommt, also kann man ihn einmal rauskuerzen, aehlich ist es mit (1-a+b) auf der rechten seite, es bleibt also uebrig:
2/(1+a+b)=(1-a+b)/2
ich multipliziere auf beiden seiten mit 2(1+a+b):
4 = (1+a+b)(1-a+b)
4 = 1-a+b+a-a^2+ab+b-ab+b^2
4 = 1-a^2+2b+b^2
0 = b^2+2b-a^2-3
0 = b^2+2b+1 -a^2-4
0 = (b+1)^2 -(a^2+4und jetzt brech ich ab, weil ich auch nicht weiterkomme, ich glaube, ich hab mich irgendwo verrechnet...
spockgeiger |
meniac
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 1999 - 12:47: |
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Aber trotzdem, danke. |
habac
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. November, 1999 - 14:39: |
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spockgeiger hat schon richtig gerechnet (bis auf die fehlende abschliessende Klammer nach der "4" in der allerletzten Gleichung), aber die Aufgabe ist eben nicht eindeutig lösbar, weil zwei Parameter vorkommen, aber nur eine Bedingung erfüllt sein muss. |
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