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Beitrag |
    
Romana
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 13:13: | 
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Hallo, ich komm nicht weiter.Kann mir nicht einer von euch helfen?
Welches rechtwinklige Dreieck mit c= 6cm erzeugt bei Rotation um
a) eine Kathete
b) die Hypothenuse
einen Kegel/ Doppelkegel mit maximalem Volumen?
Ich hab mir dazu mal die Strecke c=6cm aufgezeichnet und dann den Thaleskreis herumgemalt.
=>c²= h²+r² h ist dann also die Wuzel aus (c²-r²). Dies setz ich dann in die Volumenformel für den Kegel ein und erhalte 1/3*r²*pi*Wurzel( c²-r²).
Stimmt das bis hierher überhaupt? Wenn ja, was muss ich weiter tun?
Danke
Romana |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 15:45: |
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zu a)
Ja, bis hierhin ist alles in Ordnung.
Wenn du jetzt noch c²=36 einsetzt, dann ist´das Volumen eine Funktion in r, also
V = V(r) = 1/3*pi*r²*W(36-r²)
Diese mußt du jetzt ableiten (mit der Produktregel) und Null setzen, um die Extremwerte herauszubekommen:
V'(r) = 1/3*pi*[2r*W(36-r²)+r²*(-2r)/W(36-r²)]
= 1/3*pi*[2r*W(36-r²)-2r³/W(36-r²)]
= 1/3*pi*[2r*(36-r²)-2r³]/W(36-r²)
= 1/3*pi*[72r-2r³-2r³]/W(36-r²)
= 1/3*pi*(72r-4r³)/W(36-r²)
= 1/3*pi*(-4r)*(r²-18)/W(36-r²) = 0
Die Nullstellen der Ableitung sind
r1 = 0
r2 = W(18) = 3W(2)
Um herauszufinden, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, müßte man jetzt eigentlich die 2.Ableitung bilden. Man kann aber auch einfach die Werte in die Ursprungsfunktion einsetzen und schauen, was da herauskommt:
V(r1)=0
V(r2)=1/3*pi*18*w(36-18)=1/3*pi*18*W(18)
zu b)
Zeichne in dein Dreieck noch die Höhe h von c ein und bezeichne die Abschnitte auf der Hypothenuse mit p und q.
Der Doppelkegel hat dann das Volumen von
V = 1/3*pi*h²*p + 1/3*pi*h²+q
= 1/3*pi*h²*(p+q)
= 1/3*pi*h²*c
= 2*pi*h²
Für ein rechtwinkliges Dreieck ist die Höhe von c
h = ab/c
letztendlich also
h² = a²b²/36
Außerdem grüßt Pythagoras mit
a²+b²=c²=36 bzw. b²=36-a²
Damit haben wir dann endlich
V = V(a)=2*pi*a²(36-a²)/36
Wieder die Ableitung bilden und Nullstellen berechnen
V'(a)= 2/36*pi*(-4a)(a²-18)
a1=0
a2=W(18)
und einsetzen... |
Romana
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 17:01: |
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Hallo,
ich hab noch eine Frage. Wieso muss ich bei a) durch W(36-r²) teilen? Die Produktregel lautet doch f'(x)= u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
Romana |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 17:24: |
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Das ist schon richtig.
Aber hier wurde ein Wurzelausdruck abgeleitet.
Ist f(x)= Wurzel(x) dann ist f'(x)=1/(2*Wurzel(x))
Letztendlich kam ja auch noch die Kettenregel dran, denn der Wurzelausdruck war ja von der Form
v(x)=Wurzel(c - x²) (c eine Konstante)
und dort ist dann halt
v'(x)=1/2 * (-2x)/Wurzel(c-x²)
...Jetzt, wo ich es aufschreibe:
Ich habe bei der Ableitung 1/2 vergessen....
Prüf das noch mal nach! |
Romana
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 18:28: |
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Ich hab noch ne Frage, wieso wird bei a) in der 10ten Zeile die Wurzel bei 36-r² weggelassen?
Romana |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 20:46: |
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Hallo Romana,
Zu Aufgabe a)
V = (1/3)r²p*W(36-r²)
die Ableitung nach r ist:
V' = [rp(24-r²)] / W(36-r²)
V' = 0 ergibt
Zähler = 0 setzen
r ist nicht Null
p ist nicht Null
also
24-r² = 0
r = W(24)
oder r = 2*W(6)
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