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Beitrag |
    
Gerhard Schroeder (Gerd0815)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 13:02: | 
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Könntet ihr meine Rechnungen zu diesen Aufgaben mal überprüfen und mir sagen, ob die Lösung/der Lösungsweg richtig ist? Schreibe morgen ne Klausur, es wäre also nicht schlecht, wenn ihr schnell antworten könntet.
Danke!!!
(Habe die Aufgaben in der Fragestellung etwas verkürzt, damit das Lesen schneller geht!)
1.) Sekante geht durch P(-1/19) und R(2/4) des Graphen f(x)=4x2-9x+6. Zur Sekante ist eine parallele Tangente gezeichnet. Berechne Berührpunkt B, Tangentengleichung und Normalengleichung in B.
2.) Gegeben sind f(x)=1+x-x2-x3 und g(x)=2x2-8x-1. In welchen Punkten sind die Tangenten an die Graphen parallel zueinander?
3.) Gegeben ist f(x)=1/4x4-2,25x2+5. Berechne Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die lokalen Extrempunkte.
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zu 1.)
Sekantengleichung ermitteln:
m=(y1-y2)/(x1-x2)
m=(19-4)/(-1-2)=-5
y=mx+b
19=-5*(-1)+b | -5
14=b
Gleichung: y=-5x+14
Berührpunkt ermitteln:
f'(x)=8x-9
-5=8x-9 |+9 |/8
0,5=x
f(0,5)=4+0,52-9*0,5+6
f(0,5)=2,5
B(0,5/2,5)
Tangentengleichung ermitteln:
y=-5x+b
2,5=-5*0,5+b |+2,5
5=b
Gleichung: y=-5x+5
Steigung der Normalen:
mt*mn=-1
-5*mn=-1 |/(-5)
mn=0,2
y-Achsenabschnitt Normale:
2,5=0,2*0,5+b |-0,1
2,4=b
Normalengleichung: y=0,2x+2,4
zu 2.)
f'(x)=g'(x)
1-2x-3x2=4x-8 |+8 |-4x
-3x2-6x+9=0 |/(-3)
x2+2x-3=0
x1=-1+2 v x2=-1-2
x1=1 v x2=-3
f(1)=1+1-12-13=0
f(-3)=1+(-3)-(-3)2-(-3)3=16
g(1)=2*12-8*1-1=-7
g(-3)=2*(-3)2-8*(-3)-1=41
S1(1/0)
S2(-3/16)
S3(1/-7)
S4(-3/41)
f'(-3)=1-2*(-3)-3*(-3)2=-20
g'(-3)=4*(-3)-8=-20
f'(1)=1-2*1-3*12=-4
g'(1)=4*1-8=-4
Die Tangenten in S1 und S3 haben jeweils die gleiche Steigung (-20).
Die Tangenten in S2 und S4 haben jeweils die gleiche Steigung (-4).
zu 3.)
Schnittpunkt mit der y-Achse:
f(0)=1/4*04-2,25*02+5=5
Sy(0/5)
Schnittpunkte mit der x-Achse:
f(x)=0
1/4x4-2,25x2+5=0 |*4
x4-9x2+20=0
Biquadratische Gleichung: z=x2
z2-9z+20=0
z1=4,5+0,5 v z2=4,5-0,5
z1=5; z2=4
Rückeinsetzen:
x2=5 v x2=4
x1=Wurzel5 (~ 2,4)
x2=-Wurzel5 (~ -2,4)
x3=2
x4=-2
Extrempunkte:
f'(x)=0
x3-4,5x=0
x(x2-4,5)=0
x1=0
x2=Wurzel4,5
x3=-Wurzel4,5
f(0)=1/4*04-2,25*02+5=5
f(Wurzel4,5)=1/4*(Wurzel4,5)4-2,25*(Wurzel4,5)2+5=-0,0625
f(-Wurzel4,5)=-0,0625
S1(0/5)
S2(Wurzel4,5/-0,0625) => S2(~2,12/-0,0625)
S3(-Wurzel4,5/-0,0625) => S3(~-2,12/-0,0625)
Art der Extrempunkte:
f''(x)=3x2-4,5
f''(0)=3*02-4,5=-4,5
f''(Wurzel4,5)=3*(Wurzel4,5)2-4,5=9
f''(-Wurzel4,5)=3*(-Wurzel4,5)2-4,5=9
Antwort:
S1(0/5) ist ein Hochpunkt von f, weil f'(0)=0 und f''(0)<0.
S2(Wurzel4,5/-0,0625) ist ein Tiefpunkt von f, weil f'(Wurzel4,5)=0 und f''(Wurzel4,5)>0.
S2(-Wurzel4,5/-0,0625) ist ein Tiefpunkt von f, weil f'(-Wurzel4,5)=0 und f''(-Wurzel4,5)>0. |
conny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 19:20: |
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Hi Gerd
Also bei Aufgabe 1 brauchst du die Sekantengleichung nicht unbedingt ausrechnen, da du ja nur die Steigung brauchst. Ansonsten hätte ich Aufgabe 1 genauso gerechnet.
Aufgabe 2 ist auch richtig, du brauchst aber die Steigungen selbst nicht angeben, das spart Zeit in der KA. Im Aufgabentext heißt es ja nur, dass du die Punkte angeben sollst nicht die Steigungen. Es sei denn du hast den Text soweit gekürzt??
Bei Aufgabe 3 würde ich noch die Nullstellen hinschreiben, also (Wurzel(5)/0),(-Wurzel(5)/0),(Wurzel(4)/0) und (-Wurzel(4)/0). Mein Mathelehrer würde mir das sonst übelnehmen.
Aufgabe 3 ist auch richtig.
Scheint als ob du ziemlich fit bist für morgen.
Viel Glück!!
Conny |
Gerhard Schroeder (Gerd0815)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. März, 2001 - 20:11: |
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Danke, ich hoffe du hast Recht mit dem Fit-Sein :-)
Werde deine Ratschläge mal besser befolgen, denn schließlich will ich mir ja nicht zuviel Arbeit in der Klausur machen (für die Nullstellen werd ich mir dann aber noch Zeit nehmen...).
Danke für alles!
gerd0815 |
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