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Beitrag |
    
Daniel
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 18:03: | 
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In ein Dreieck mit der Grundlinie g und der Höhe h soll das flächengrößte Rechteck einbeschrieben werden. |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 18:59: |
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Aufgrund des Strahlensatzes gilt, dass in einem Abstand d von g die Paralelle zu g das Dreieck schneidet und dabei eine Strecke der Länge g'=((h-d)/h)*g gebildet wird (vorausgestzt, d<=h und "man befindet sich auf der richtigen Seite"; aber wir wollen ja nicht pingelig sein...).
Für ein Rechteck, dessen Flächeninhalt maximal werden soll gilt: Es muss eine Seite auf g haben und die zwei übrigen Ecken müssen auf den jeweiligen Seiten des Dreiecks liegen (Beweisen will ichs jetzt nicht und es ist mir jetzt auch zu kompliziert; d.h. es würde länger dauern bis ichs bewiesen hätte und es würde nur unnötig lang werden. Also glaubs mir einfach/ ich vermute es auch nur.) Eine Seite des Rechtecks ist also d lang, die andere ist g' lang. Sein Flächeninhalt F ist also:
F=d*g'=d*((h-d)/h)*g=(g/h)*(d*(h-d))
das muss maximal werden; also nach d differenzieren:
dF/dd=(g/h)*(h-2*d)=0 => h-2*d=0 => d=h/2
Also muss eine Seite h/2 lang sein. Also machst du eine Paralelle zu g im Abstand h/2 dann fällst du Lote von den Schnittpunkten der entstandenen Gerade nach g und verbindest beide Lotfußpunkte: fertig ist das maximale Rechteck!
Ach ja, man muss eigentlich noch ein zweites mal differenzieren, um zu zeigen, dass es wirklich maximal wird, aber das schenck ich mir.
PS: Es gibt noch zwei weitere solche Rechtecke, die den gleichen Flächeninhalt haben, bei denen ist aber nur die Grundseite g mit einer der anderen Seiten des Dreiecks vertauscht. |
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