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ManuelR
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 21:36: | 
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Habe am Freitag ein Referat, muss beweisen, dass pi irrational ist... hab bis jetzt im net nix gefunden... kann mir jemand helfen? |
Lars Weiser
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 09:29: |
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Hallo Manuel, ich hoffe, ich kann Dir weiterhelfen:
Satz: Pi^2 ist irrational, erst recht ist Pi irrational.
Beweis (von I. Niven, 1947): Wir nehmen an, es sei Pi^2 = a/b mit a, b aus N.
Wir wählen anschließend eine natürliche Zahl n so, daß (Pi·a^n)/n! < 1.
Mit diesem n bilden wir f(x) := (1/n!)·x^n(1-x)^n = (1/n!)·Summe(v=n,2n){cv·x^v}.
Die cv sind dabei ganze Zahlen. Für k<n und k>2n ist die k-te Ableitung von f(0) = (k!/n!)·ck eine ganze Zahl: f und alle Ableitungen von f nehmen also bei 0 ganzzahlige Werte an. Das Gleiche gilt wegen f(1-x)=f(x) auch bei 1.
Wir setzen nun:
F(x):=b^n[Pi^(2n)·f(x)-Pi^(2n-2)·f"(x)+Pi^(2n-4)·f""(x)-...+(-1)^n·f(2n)(x)], f(2n) ist die 2n-te Abl. von f.
F(0) und F(1) sind ebenfalls ganze Zahlen (***). Weiter ist:
d/dx{F'(x)·sin(Pi·x)-Pi·F(x)·cos(Pi·x)} = (F"(x)+Pi^2·F(x))·sin(Pi·x)
= b^n·Pi^(2n+2)·f(x)·sin(Pi·x)
= Pi^2·a^n·f(x)·sin(Pi·x).
Damit folgt: I:=Pi·Integral(0 bis 1){a^n·f(x)·sin(Pi·x)}dx = F(0)+F(1).
Somit ist I eine ganze Zahl (siehe (***)).
Andererseits gilt wegen 0 < f < 1/n! in (0,1):
0 < I < (Pi·a^n)/n! < 1, was ein Widerspruch ist
=> Pi ist nicht rational => Pi ist irrational, Q.E.D.
Ciao Lars |
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