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maja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 17:01: | 
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wie bekomme ich die anzahl der permutationen für n unterscheidbare elemente heraus die in einem kreis angeordnet sind was muss ich beachten? ist dringend!! danke im voraus! maja |
Alwin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 18:21: |
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Hallo maja,
Ähnlich dem Prinzip der Induktion.
Wenn eine erste Anordnung nicht von einer zweiten Anordnung unterschieden werden soll, die man erhält, wenn man die erste Anordnung in entgegengesetzter Umlaufsrichtung aufstellt, dann ergibt es sich leicht so:
Drei Elemente aus der Menge {1,2,3} lassen sich dann nur auf eine Weise kreisförmig anordnen, es ist egal, ob es heißt:
.....1
2
.....3
("linksherum aufsteigend")
oder
....1
3
....2
("rechtsherum aufsteigend")
Beide Male hat die 1 dieselben Nachbarn 2 und 3.
Betrachte nun die Elemente aus der Menge {1,2,3,4}:
Zu denen aus {1,2,3} kommt die 4 hinzu, und die lässt sich maximal an 3 verschiedenen Stellen platzieren, ohne dass irgendeine Reihenfolge von 4 aufeinanderfolgenden Elementen in zwei der 3 entstehenden Anordnungen doppelt vorkommt.
Für 4 Elemente gibt es also 3 Anordnungen.
Nun erweitere die Menge {1,2,3,4} um die 5 und betrachte {1,2,3,4,5}:
die 5 kann an maximal 4 verschiedenen Stellen platziert werden, ohne dass irgendeine Reihenfolge von 5 aufeinanderfolgenden Elementen in zwei der 4 entstehenden Anordnungen doppelt vorkommt.
Für jede der vorherigen 3 unterschiedlichen Anordnungen gibt es für 5 Elemente also 4 Anordnungen, das sind 3*4 Anordnungen.
Nun erweitere die Menge {1,2,3,4,5} um die 6 und betrachte {1,2,3,4,5,6}:
die 6 kann an maximal 5 verschiedenen Stellen platziert werden, ohne dass irgendeine Reihenfolge von 6 aufeinanderfolgenden Elementen in zwei der 5 entstehenden Anordnungen doppelt vorkommt.
Für jede der vorherigen 3*4 unterschiedlichen Anordnungen gibt es für 6 Elemente also 5 Anordnungen, das sind 3*4*5 Anordnungen.
...
Anz. Elemente: n
n | Anz. Anordnungen
4 | 3
5 | 3*4
6 | 3*4*5
7 | 3*4*5*6
8 | 3*4*5*6*7
.. |
n | 3*4*...*(n-1)
3*4*...*(n-1) = = 1*2*3*4*5* ... *(n-1)/2 = (n-1)!/2
Es gibt also (n-1)!/2 Anordnungen, wenn es nicht auf den "Drehsinn" ankommt, mit dem zwei Anordnungen noch unterschieden werden könnten.
Kommt es auf den Drehsinn an, könnte man den Kreis einfach anstatt von seiner "Vorderseite" von seiner "Rückseite" betrachten, damit verdoppelt sich die Anzahl der Anordnungen, also
(n-1)!/2 * 2 = (n-1)!
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maja
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 18:59: |
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naja im moment versteh ich es noch nicht richtig ich hab es natürlich auch probiert also mit 1,2,3 und 4 und hab alle kreise aufgemalt das sind ja dann 24. ich hab praktisch den kreis in 4 segmente geteilt und dann 4 reihen mit je 6 anordnungen erhalten
und dann hab ich alle rausgesucht die sich wiederholen und das sind alle dieser reihe weil es ja wie schon gesagt egal ist auf welcher posaition des kreises sie stehen das sind dann insgesamt 6.
und das ist wiederum 4!/4.
weil ich mir natürlich nicht sicher war hab ich das noch mit 3 und 5 verschiedenen elementen probiert und es hat gepasst also hätte ich gesagt n!/n
kann das nicht auch sein oder was mach ich falsch?
danke maja |
Alwin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 19:24: |
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Hallo maja,
du hast nichts falsch gemacht, dein Ergebnis n!/n ist dasselbe wie (n-1)!, was ich raus habe. Ich habe unten auch (n-1)! Anordnungen für den Fall herausbekommen, dass je nach der Drehrichtung unterschieden wird.
In meiner Herleitung habe ich nur zunächst nicht unterschieden.
Wenn z.B. 4 Personen Anton, Berta, Cäsar, Dora an einem runden Tisch sitzen, unterscheidest du also bei deiner Betrachtung, dass diese Reihenfolge eine andere ist als die Reihenfolge Dora, Cäsar, Berta, Anton, obwohl jeder dieselben Nachbarn hat wie bei der ersten Anordnung.
Ich unterscheide genau dies zunächst nicht, erst am Ende berücksichtige ich das, indem ich nicht von oben auf Tisch sehe, sondern die Sitzanordnung von unten her betrachte und deshalb mein erstes Ergebnis (n-1)!/2 mit 2 multipliziere.
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