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Beitrag |
    
Jan-Hendrik Wierk (Janhendrix)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. März, 2001 - 15:47: | 
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Ich habe eine Funktion:
f(x)=x^4 + x^2 + 5
1) Df=Rationale Zahlen (R)
2) Wie sehe ich, ob es eine Achsensymmetrie gibt?
Wie sehe ich, ob es eine Symmetrie zum
Ursprung gibt?
3) Nullstellen... wie rechne ich die Nullstellen
aus?
4) Extrempunkte -> Kann ich! :-)))
5) Graph zeichnen -> Kann ich auch! :-))
Ich bitte euch mir das ganze auch nochmal schriftlich durchzugehen. Mit Beschreibungen kann ich nämlich nicht soviel anfangen.
Danke schonmal im Voraus! :-) |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. März, 2001 - 17:02: |
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2)
Achsensymmetrie zur y-Achse ist gegeben, wenn nur geradzahlige Potenzen von x vorkommen, also x0, x2, x4 usw.
Es gilt dann für alle x aus R: f(x) = f(-x).
Punktsymmetrie zum Ursprung des Koordinatensystems liegt vor, wenn nur ungerade Potenzen von x vorkommen, also x1, x3, x5 usw.
Es gilt dann für alle x aus R: f(-x) = -f(x).
In der Funktionsgleichung
f(x) = x4 + x2 + 5
kommen nur gerade Exponenten vor, also... ziehe deine Schlüsse, ist nicht schwer.
Man kann auch zeigen:
f(-x) = (-x)4 + (-x)2 + 5 = x4 + x2 + 5 = f(x)
Also
f(-x) = f(x)
Was das bedeutet, habe ich oben beschrieben...
3)
Wir substituieren z=x2:
z2 + z + 5 = 0
und lösen nach der pq-Formel. Es zeigt sich, dass die Diskriminante (p/2)2 - q < 0 ist, so dass es keine Lösungen und somit keine Nullstellen dieser Funktion gibt. Das müsstest du am Graphen ablesen können.
Den Rest kannst du ja... |
anna
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. März, 2001 - 17:14: |
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Hi du!
Zur Symmetrie! Erstmal gibt es da einen ganz simplen Trick: Sind die Exponenten alle gerade ist die Funktion achsialsymmetrisch, sind die Exponenten ungerade ist die Funktion unsymmetrisch. Wenn es gerade und ungerade Exponenten gibt, ist die Funktion nicht symmetrisch!
Mathematisch ausrechnen kannst du das mit Hilfe folgender Formeln:
achsialsymmetrisch: f(-x) = f(x)
bei deiner Aufgabe: f(x)= x^4+x^2+5
f(-x)= (-x)^4+(-x)^2+5
das ausgerechnet ergibt: x^4+x^2+5
daraus folgt: f(x) = f(-x) -> achsialsymmetrisch
für Punktsymmetrie (also der Symmetrie zum Ursprung) gilt die Formel: f(-x) = -f(x)
Zu den Nullstellen: Bei diesen achsialsymmetrischen Funktionen 4.Grades gibt es das Prinzip der Substitution: das heißt, du ersetzt das x^2 durch z.B. z und dementsprechend das x^4 durch z^2
x^2=z
x^4=z^2 dies ist die Substitution, das heißt, du ersetzt eine Variable durch eine andere:
f(x)=z^2+z+5 und dann kannst du das mit der quadratischen Lösungsformel ausrechnen! Nur ist es leider so, dass es bei deiner Funktion keine Nullstellen gibt, denn:
x1/2= -1/2 +/- Wurzel(1^2/4 -5)
du kannst keine Wurzel aus ner negativen Zahl ziehen, deshalb gibt es hierfür auch keine Nullstellen
um dir die Substitution trotzdem zu erklären ein anderes Beispiel:
f(x)= x^4+ x^2 - 0,75
Substitution: f(x)= z^2+ z - 0,75
z 1/2= -1/2 +/- Wurzel(1^2/4 + 0,75)
= -1/2 +/- Wurzel(0,25 + 0,75)
= -1/2 +/- Wurzel(1)
z1= 0,5
z2= -1,5
dies sind aber jetzt noch keine Ergebnisse, da du noch zurück substituieren mußt:
da x^2 = z mußt du aus deinen Lösungen die Wurzel ziehen
z = 0,5 x^2 = 0,5 daraus folgt:
x1 = +Wurzel(0,5) ; x2 = -Wurzel(0,5)
x3 wäre Wurzel aus -1,5, aber da du keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen kannst, bleibt es bei den beiden Ergebnissen x1 und x2!
Ich hoffe, du kamst mit meinen Erklärungen klar! |
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