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anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 16:05: | 
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1) Man finde alle Zahlenpaare (x, y) (x, y sind natürliche Zahlen), die die Gleichung
3^(2x-1)+3^x+1=7^y erfüllen ( ^heißt hoch)
man soll sie also finden und beweisen wieso es die einzigen sind.
ich hab (1, 1) gfunden und schätze es ist das einzige paar aber leider hab ich keinen plan wie ich den beweis führen soll.
2)
P=log3 4* log5 6*...* log999 1000
(amit ist gemeint: log aus 4 zur basis 3, log aus 6 zur basis5, ... log aus 1000 zur basis 999)
man zeige:
quadratwurzel aus 6 < P < quadratwurzel aus 10.
vollständige beiweise wären super nett aber beweis ideen reichen mir auch aus.
danke im vorraus |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 19:43: |
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1) Ja, da gibts einen nützlichen Satz aus der Gruppentheorie.
Hat a die Ordnung d modulo p und gilt a^d != 1 (mod p^2), so hat a die Ordnung d*p^(r-1) modulo p^r.
[kannst nachlesen unter der Rubrik UnversitätsNiveus,Zahlentheorie,Primitive Kongruenzwurzel für Injektivität, dort wirds indirekt bewiesen (mit binomischem Satz) ]
Das wenden wir nun an:
7 hat offensichtlich die Ordnung 1 modulo 3, denn 7^1 = 1 (mod 3). Außerdem gilt 7^1 = -2 != 1 (mod 9);
also: Die ord(7) modulo 3^x ist 1*3^(x-1) = 3^(x-1)
Wegen 3^(2x-1)+3^x+1=7^y und 2x-1 >= x gilt nun:
7^y = 1 (mod 3^x);
Damit ist y durch 3^(x-1) teilbar.
also:
3^(2x-1)+3^x+1=7^[3^(x-1)*k]; mit k E IN
=>3^2x + 1 > 7^[3^(x-1)];
=>9^x >= 21^[3^(x-2)];
=>x * ln(9) >= 3^(x-2) * ln(21);
=>x > 3^(x-2);
dies gilt nur für x=1 oder x=2. Für x=2 existiert kein y, welches die Gleichung erfüllt.
Damit ist (1,1) die einzige Lösung.
Mal schaun vielleicht find ich noch nen einfacheren Beweis hierzu. |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 21:08: |
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Nun zur zweiten; eine recht schöne Aufgabe.
Es gilt für a>1, E IR
(1) log[a](a+1) > log[a+1](a+2);
<=> ln(a+1)/ln(a) > ln(a+2)/ln(a+1);
<=> ln(a+1)^2 > ln(a+2)*ln(a);
<=> (a+1)*ln(a+1) > (a+2)*ln(a);
<=> (a+1)^2 > a(a+2) = (a+1-1)(a+1+1) = (a+1)^2-1;
damit gilt:
P^2 =(log3 4)^2 * (log5 6)^2 *...*(log999 1000)^2
> (log3 4) * (log4 5) * (log5 6) * ... *
* (log999 1000) * (log1000 1001) := X;
also die rechte seite der ungleichung sei X.
offensichtlich gilt:
3^X = 4^(X/(log3 4)) = 5^(X/[(log3 4)*(log4 5)]) = ... = 1001;
=> X = ln(1001)/ln(3);
da ja P^2 > X gilt somit:
P > sqr(ln(1001)/ln(3)) = ungefähr 2.5077 >sqr(6);
also P > sqr(6);
so, dass P < sqr(10) zeigst genau so, kannst dich selber dran versuchen.
(Tip: stell die Ungleichung
P^2 < [(log2 3)/(log1000 1001)]*X auf)
Wo hastn die Aufgaben her????????? |
a
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. März, 2001 - 18:23: |
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erstmal vielen dank für die lösungen!
die aufgaben hab ich aus so nem übungsheft für internationale mathe olympiaden (von 1979).
falls du lust hast noch eine zu rechnen, guck dir einfach in der gleichen rubrik also 11.Klasse/beweisführung die aufgabe: "gegeben seien 2n verschiedene punkte..."
cu |
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