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mathe-olympiade

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Sonstiges » mathe-olympiade « Zurück Vor »

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Jan (schlachtrufe666)
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Neues Mitglied
Benutzername: schlachtrufe666

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 13:11:   Beitrag drucken

hi, wir sollen wieder mathe-olpymiaden aufgaben lösen, aber da ich überhaupt keinen plan von mathe habe könnte mir da jemand helfen? also die aufgaben mal vorrechnen? danke, also die aufgaben:

1.) zu jeder reelen zahl a ermittle man alle diejenigen zahlen x, die die gleichung |x+3a|-|x-a|=2a erfüllen.

2.) man ermittle alle diejenigen positiven ganzen zahlen, die nicht als differenz zweier quadratzahlen darstellbar sind.

3.) ein kegel der höhe H steht auf der spitze. er wird teilweise mit wasser gefüllt, so dass das wasser bis zur höhe h steht. nach dem verschließen der füllöffnung wird der kegel so umgedreht, dass er auf seiner grundfläche steht. wie hoch ist jetzt der wasserstand?


so, das sind ja ganz dolle fragen, mal sehen ob die jemand lösen kann*g*

danke schon mal im vorraus
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Lena
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 13:50:   Beitrag drucken

Hallo Jan,
von der deutschen Sprache scheinst du auch keine Ahnung zu haben. Noch nie von Großbuchstaben gehört?
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Walter H. (mainziman)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 205
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 21. September, 2002 - 14:34:   Beitrag drucken

Hi,

Zur Aufgabe 2.

n >= 1 und k => 1

(n+k)^2 - n^2 = n^2 + 2kn + k^2 - n^2 = 2kn + k^2
= k*(2n+k)

da k >= 1 ist, kann nie 1 oder 2 herauskommen
weil 1 * ( 2n + 1 ) bereits mind. 3 ist;

wenn k = 1 ist, kommen alle ungeraden zahlen mit der Ausnahme von 1 heraus;

k*(2n+k) = 2^m

8 = 2 * (2n + 2) => n = 1 => m = 3
32 = 4 * (2n + 4) => n = 2 => m = 5
128 = 8 * (2n + 8) => n = 4 => m = 7
512 = 16 * (2n + 16) => n = 8 => m = 9

m muß eine ungerade Zahls ein;

2^(2n) ist nie ergebnis der Diff. 2er Quadratzahlen

k*(2n+k) = 2*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 2*m
2l*(n+l) = m
=> die Differenz ist keie Zahl bei der die 2 in Primfaktorenzerlegung mit Vielfachheit 1 auftritt;

k*(2n+k) = 4*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 4*m
l*(n+l) = m
=> wenn l = 1 ist, kann m jede beliebige Zahl sein, für welche gilt: m >= 2; somit ist auch 4 als Ergebnis ausgeschlossen;

Vielleicht fallen noch wen Zahlen ein, die nicht als Differenz 2er Quadratzahlen dargestellt werden können;

---

Zur Aufgabe 1:

Fall a ist positiv

|x+3a| - |x-a| = 2a
x + 3a >= 0 <=> x >= -3a
x - a >= 0 <=> x >= a

Fall a ist positiv und x >= a

x + 3a - x + a = 2a => nur mögl. für a = 0
für a = 0 ist der gesamte Def. Bereich Lsg. der Gleichung

Fall a ist positiv und x >= -3a und x < a

x + 3a + x - a = 2a
2x + 2a = 2a
x = 0

Fall a ist positiv und x < -3a

-x - 3a + x - a = 2a
-4a = 2a
a = 0 => hatten wir schon

für a > 0 existiert nur die Lsg. x = 0

Fall a ist negativ

b := -a

|x-3b| = |x+b| -2b
x - 3b >= 0 <=> x >= 3b
x + b >= 0 <=> x >= -b

Fall b ist positiv und x >= 3b

x - 3b = x + b - 2b
-3b = -b
b = 0 => hatten wir schon

Fall b ist positiv und x < 3b und x >= -b

-x + 3b = x + b - 2b
-2x = -4b
x = 2b

Fall b ist positiv und x < -b

-x + 3b = -x - b - 2b
3b = -3b
b = 0 => hatten wir schon

für a < 0 existiert nur die Lsg. x = -2a

a = -2 => x = 4
|x+3a| - |x-a| = 2a
|4-6| - |4+2| = -4
2 - 6 = -4 => w. A.

---

Zur Aufgabe 3:

f(x) = r * x; h < H und h' < H

V1 = pi * INT[ 0; h ] f^2(x) dx
V2 = pi * INT[ H-h'; H ] f^2(x) dx
Beide Volumina müssen gleich sein => pi fällt weg

F'(x) = r^2 * x^3/3 + C

F'(h) - F'(0) = F'(H) - F'(H-h')

r^2*h^3/3 - 0 = r^2*H^3/3 - r^2*(H-h')^3/3 | r^2 fällt weg
h^3 = H^3 - (H-h')^3
(H-h')^3 = H^3-h^3
H-h' = cbrt(H^3-h^3)
h' = H - cbrt(H^3-h^3)

Gruß,
Walter

@Lena, im Zeitalter des Internets ist es immer öfters üblich die Rechtschreibung dem englischen anzugleichen => keine Großschreibung
Wer hat behauptet die Rechtschreibreform hat einen Sinn gemacht?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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egal
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 14:09:   Beitrag drucken

Hi,
nur ein paar Bemerkungen zu Walters Lösungen:

zu 1) erhalte ich
x >= -3a , für a < 0
x reell , für a = 0
x >= -a , für a > 0

zu 2) betrachte mod 4:
4k = (k+1)^2 - (k-1)^2
4k+1 = (2k+1)^2 - (2k)^2
4k-1 = (2k)^2 - (2k-1)^2
Also sind alle Zahlen kongruent 0,1,3 mod 4 als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar.
Es gibt nur 0 und 1 als quadr.Reste mod 4, also kann die Differenz zweier Quadratzahlen nie kongruent 2 mod 4 sein ==>
Genau die Zahlen der Form 4k+2 sind also nicht als Diff. zweier Quadratzahlen darstellbar.

zu 3) Walters Lösung stimmt.

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Walter H. (mainziman)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 209
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 22:12:   Beitrag drucken

hi egal,

zu Aufgabe 1,

für a = 0 => der gesamte Def. Bereich heißt des selbe;

for a < 0:

a = -2 => x = 6
|x+3a| - |x-a| = 2a
|6-6| - |6+2| = -4
0 - 8 = -4 => f. A.

Deine Lsg. für a < 0 ist falsch

für a > 0:

z.b. a = 2 und x = 0 ( x <> -a )

|x+3a| - |x-a| = 2a
|0+6| - |0-2| = 4
6 - 2 = 4 w. A.

=> Deine Lsg. x = -a ist eine weitere Lsg.

daher gilt für a > 0: x = 0 oder x = -a

|-2+6| - |-2-2| = 4
4 - 0 = 4 w.A.

zu Aufgabe 2

=> die Differenz ist keine Zahl bei der die 2 in der Primfaktorenzerlegung mit der Vielfachheit 1 auftritt;
heißt genau deine Lsg. mit der Einschränkung dass 4 unmöglich ist, welche bei Dir möglich sein soll;

ich ging von Zahlen aus, welche nicht darstellbar sind aus;
kongruent 1, 3 mod 4 heißt eine ungerade Zahl.
kongruent 2 mod 4 heißt daß die Zahl in der Primfaktorenzerlegung die 2 mit der Vielfachheit 1 aufweist;

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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egal
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 08:26:   Beitrag drucken

Hi Walter,

bei 1) bin ich schon an der Angabe gescheitert, ich hab |x+3a|-|x+a|=2a gerechnet.

Zu 2) sollte eine vollständige Charakterisierung sein, als Antwort auf deine Frage "Vielleicht fallen noch wen Zahlen ein, die nicht als Differenz 2er Quadratzahlen dargestellt werden können". Ich beziehe die Bedingung "positiv" nur auf die Differenz, nicht auf die Quadrate und würde daher 1 = 1² - 0² und 4 = 2² - 0² schon gelten lassen.

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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 210
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 10:34:   Beitrag drucken

Hi egal,

zu 1) Kann passieren; niemand is vollkommen;

zu 2) Wennst es so siehst klar, ich ging von natürlichen Zahlen aus => darum hab ich die 1 und die 4 ausgeschlossen;

Warum ist bei Dir als Ergebnis 2^(2n) mit n element IN möglich?

2^(2n) == 0 (mod 4)
4^n == 0 (mod 4)
Gruß,
Walter

Mainzi Man,
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egal
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Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 12:26:   Beitrag drucken

Hi Walter,

(4^(n-1) + 1)^2 - (4^(n-1) - 1)^2 = 2^(2n)

P.S. "niemand ist vollkommen" ... und ich bin wahrscheinlich nicht mal halbkommen ;-)

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Walter H. (mainziman)
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Nummer des Beitrags: 211
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 14:02:   Beitrag drucken

Hi egal,

siehe da, ich bin auf das Gegenteil gekommen;
hab da irgendwie falsch gedacht is aber logisch, auf Deinen Term wär ich nicht gekommen;

5^2 - 3^2 = 4^2
(5n)^2 - (3n)^2 = (4n)^2 mit n = 2^(2k-2) = 4^(k-1)

tja, kann passieren;

Gruß,
Walter
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Peter (analysist)
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Nummer des Beitrags: 104
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 17:02:   Beitrag drucken

Hallo,

@ Walter & egal:

Das sind die Aufgaben der aktuellen Mathematik-Olympiade!
Wie immer man zu solchen Wettbewerben steht, es kann ja nicht der Sinn der Übung sein, dass sich einige Leute bemühen, selbst Ergebnisse zu erzielen und andere diese Aufgaben hier ins Forum stellen!!!
Sollte tatsächlich ein(e) LehrerIn auf die Idee kommen, diese Aufgaben im normalen Unterricht zu stellen, dann hat er/sie die Wettbewerbsidee gründlich missverstanden.
Als SchülerIn würde ich mich weigern, diese Aufgaben zu bearbeiten!

Gruß

Peter
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Yopi
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Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 00:03:   Beitrag drucken

Hallo zur späten Stunde.

Wäre jemand mal so nett und könnte den Link auf die Original-Aufgaben angeben, damit man sich einen Überblick über alle Aufgaben machen kann, und sie nicht nur auszugsweise vorgesetzt bekommt?
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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 212
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 05:17:   Beitrag drucken

Hi,

@Peter: Tja, ich denk mir nix bei dem Titel mathe-olympiade (kenne die Aufgaben ja nicht, als nicht dt. nicht mehr Schüler - woher auch); und vielleicht dachte sich der Poster, daß damit der Anreiz größer ist, eine Lsg. zu bekommen;

@Yopi: Tut es das? http://www.kalva.demon.co.uk/imo.html
http://www.bundeswettbewerb-mathematik.de/

Als Nichtdeutscher, kann mich da mal jemand aufklären, wie das läuft mit der Matheolymp.?

(in Österreich werden die Aufgaben, welche es bei der Olympiade gibt, erst beim Bewerb bekanntgegeben, pro Aufgabe etwa 1 h Zeit, im Mai/Juni ist bereits entschieden, wer zur int. Matholymp. fährt/fliegt)

Daher wundert es mich jetzt ein wenig => bin davon ausgegangen, daß es sich um Aufgaben von alten Bewerben handelt und jemand gerne die Lsg. dazu hätte;

Gruß,
Walter

Mainzi Man,
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Q.
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Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 07:09:   Beitrag drucken

Die Kegel-Aufgabe 3.) wurde bereits vor einem Monat im Denksport gelöst.
In einem anderen Mathe-Forum wurde vor 2 Wochen die Quadratdifferenz-Aufgabe 2.) besprochen.

Wenn das tatsächlich die aktuellen Olympiadeaufgaben sind, habe ich ernste Zweifel am Sinn dieser Veranstaltung! Wer gewinnt so eine "Olympiade" - der die beste Lösung kopiert?

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Peter (analysist)
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Benutzername: analysist

Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 08:42:   Beitrag drucken

Alles über die Mathe-Olympiade:

http://www.mathematik-olympiaden.de

Gruß

Peter
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Yopi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 14:13:   Beitrag drucken

Hallo,
danke für die vielen URLs, aber ich meinte eigentlich einen Link, der direkt zu einer Seite führt, wo ich die Aufgaben mit

|x+3a|-|x-a|=2a,

mit der
Differenz zweier Quadratzahlen,
die mit dem umgedrehten Kegel

und
die mit dem Achteck von Seite
http://zahlreich.de/hausaufgaben/messages/24/128155.html

finden kann.



Die Frage war natürlich auch an diejenigen gerichtet, die die Aufgaben gelöst haben möchten, weil sie die URL eigentlich kennen müssten.
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Wölfchen
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Oktober, 2002 - 18:03:   Beitrag drucken

Hallöchen also ich hab mit der aufgabe 3 so meine Probleme, hab jetzt schon die ganze Zeit überlegt wie man das auf einfache Weise lösen kann, denn Integralrechnung hatten wir noch nicht. Aber je länger ich rechnete um so kuriosere Dinge erhilt ich als Ergebnis. Es muss allerdings ne einfachere Lösung geben,die mehr auf geometrische Beweise fußt, hab ihr noch ne Idee wie man das Dingens noch lösen kann?
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Susi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 10:14:   Beitrag drucken

Hallo, ich hab' ein riesiges Problem! Kann mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein? Ich brauch auch nur einen tipp, denn ich komm einfach nicht weiter! Für euch ist diese aufgabe bestimmt einfach!
Die Werbung auf ein Nachfüllpack, dessen Inhalt zum zweimaligen Nachfüllen der Orginalverpackung reicht, verspricht:"Sie sparen 75% Verpackungsmaterial."
a)Weise nach, dass die werbung nicht in folgender Bedeutung zutreffen kann:"Es werden 75% des Verpackungsmaterials eingespart, wenn jemand anstelle von drei Originalverpackungen nur eine Originalverpackung und dazu ein Nachfüllpack kauft."
b)Die Lösung von a) lässt vermuten, dass die werbung in folgendem sinn zutrifft:"Wenn man anstelle von zwei Originalverpackungen ein nachfüllpack kauft, werden 75% des Verpackungsmaterials eingespart."
Ermittle unter dieser Annahme, wie viel Prozent des Verpackungsmaterials eingespart werden, wenn amn statt fünf Originalverpackungen nur eine und dazu zwei Nachfüllpacks kauft.
Ich wäre echt dankbar, wenn mich jemand aus meiner aussichtslosen Lage befreien könnte!
Danke schon im Voraus
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ana
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 21:42:   Beitrag drucken

zu a) Selbst, wenn das Nachfüllpack ohne Verpackung auskommt, spart man nur 66% (da die eine gekaufte Packung ja bereits 33% der ursprünglichen 100% Verpackung, von der wir sprechen, ausmacht).

zu b) Der Nachfüllpack braucht offenbar 25% der Verpackung, die für zwei Originalpacks nötig ist (75% Einsparung). Also werden 50% der Verpackung eines Originalpacks benötigt. Ein bißchen Rechnung ergibt: 60% Einsparung!
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Anhänger
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 22:19:   Beitrag drucken

Zur Aufgabe 2.

n >= 1 und k => 1

(n+k)^2 - n^2 = n^2 + 2kn + k^2 - n^2 = 2kn + k^2
= k*(2n+k)

da k >= 1 ist, kann nie 1 oder 2 herauskommen
weil 1 * ( 2n + 1 ) bereits mind. 3 ist;

wenn k = 1 ist, kommen alle ungeraden zahlen mit der Ausnahme von 1 heraus;

k*(2n+k) = 2^m

8 = 2 * (2n + 2) => n = 1 => m = 3
32 = 4 * (2n + 4) => n = 2 => m = 5
128 = 8 * (2n + 8) => n = 4 => m = 7
512 = 16 * (2n + 16) => n = 8 => m = 9

m muß eine ungerade Zahls ein;

2^(2n) ist nie ergebnis der Diff. 2er Quadratzahlen

k*(2n+k) = 2*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 2*m
2l*(n+l) = m
=> die Differenz ist keie Zahl bei der die 2 in Primfaktorenzerlegung mit Vielfachheit 1 auftritt;

k*(2n+k) = 4*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 4*m
l*(n+l) = m
=> wenn l = 1 ist, kann m jede beliebige Zahl sein, für welche gilt: m >= 2; somit ist auch 4 als Ergebnis ausgeschlossen;

Vielleicht fallen noch wen Zahlen ein, die nicht als Differenz 2er Quadratzahlen dargestellt werden können;

---

Zur Aufgabe 1:

Fall a ist positiv

|x+3a| - |x-a| = 2a
x + 3a >= 0 <=> x >= -3a
x - a >= 0 <=> x >= a

Fall a ist positiv und x >= a

x + 3a - x + a = 2a => nur mögl. für a = 0
für a = 0 ist der gesamte Def. Bereich Lsg. der Gleichung

Fall a ist positiv und x >= -3a und x < a

x + 3a + x - a = 2a
2x + 2a = 2a
x = 0

Fall a ist positiv und x < -3a

-x - 3a + x - a = 2a
-4a = 2a
a = 0 => hatten wir schon

für a > 0 existiert nur die Lsg. x = 0

Fall a ist negativ

b := -a

|x-3b| = |x+b| -2b
x - 3b >= 0 <=> x >= 3b
x + b >= 0 <=> x >= -b

Fall b ist positiv und x >= 3b

x - 3b = x + b - 2b
-3b = -b
b = 0 => hatten wir schon

Fall b ist positiv und x < 3b und x >= -b

-x + 3b = x + b - 2b
-2x = -4b
x = 2b

Fall b ist positiv und x < -b

-x + 3b = -x - b - 2b
3b = -3b
b = 0 => hatten wir schon

für a < 0 existiert nur die Lsg. x = -2a

a = -2 => x = 4
|x+3a| - |x-a| = 2a
|4-6| - |4+2| = -4
2 - 6 = -4 => w. A.

---

Zur Aufgabe 3:

f(x) = r * x; h < H und h' < H

V1 = pi * INT[ 0; h ] f^2(x) dx
V2 = pi * INT[ H-h'; H ] f^2(x) dx
Beide Volumina müssen gleich sein => pi fällt weg

F'(x) = r^2 * x^3/3 + C

F'(h) - F'(0) = F'(H) - F'(H-h')

r^2*h^3/3 - 0 = r^2*H^3/3 - r^2*(H-h')^3/3 | r^2 fällt weg
h^3 = H^3 - (H-h')^3
(H-h')^3 = H^3-h^3
H-h' = cbrt(H^3-h^3)
h' = H - cbrt(H^3-h^3)

Gruß,
Walter

@Lena, im Zeitalter des Internets ist es immer öfters üblich die Rechtschreibung dem englischen anzugleichen => keine Großschreibung
Wer hat behauptet die Rechtschreibreform hat einen Sinn gemacht?
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Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg* Zur Aufgabe 2.

n >= 1 und k => 1

(n+k)^2 - n^2 = n^2 + 2kn + k^2 - n^2 = 2kn + k^2
= k*(2n+k)

da k >= 1 ist, kann nie 1 oder 2 herauskommen
weil 1 * ( 2n + 1 ) bereits mind. 3 ist;

wenn k = 1 ist, kommen alle ungeraden zahlen mit der Ausnahme von 1 heraus;

k*(2n+k) = 2^m

8 = 2 * (2n + 2) => n = 1 => m = 3
32 = 4 * (2n + 4) => n = 2 => m = 5
128 = 8 * (2n + 8) => n = 4 => m = 7
512 = 16 * (2n + 16) => n = 8 => m = 9

m muß eine ungerade Zahls ein;

2^(2n) ist nie ergebnis der Diff. 2er Quadratzahlen

k*(2n+k) = 2*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 2*m
2l*(n+l) = m
=> die Differenz ist keie Zahl bei der die 2 in Primfaktorenzerlegung mit Vielfachheit 1 auftritt;

k*(2n+k) = 4*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 4*m
l*(n+l) = m
=> wenn l = 1 ist, kann m jede beliebige Zahl sein, für welche gilt: m >= 2; somit ist auch 4 als Ergebnis ausgeschlossen;

Vielleicht fallen noch wen Zahlen ein, die nicht als Differenz 2er Quadratzahlen dargestellt werden können;

---

Zur Aufgabe 1:

Fall a ist positiv

|x+3a| - |x-a| = 2a
x + 3a >= 0 <=> x >= -3a
x - a >= 0 <=> x >= a

Fall a ist positiv und x >= a

x + 3a - x + a = 2a => nur mögl. für a = 0
für a = 0 ist der gesamte Def. Bereich Lsg. der Gleichung

Fall a ist positiv und x >= -3a und x < a

x + 3a + x - a = 2a
2x + 2a = 2a
x = 0

Fall a ist positiv und x < -3a

-x - 3a + x - a = 2a
-4a = 2a
a = 0 => hatten wir schon

für a > 0 existiert nur die Lsg. x = 0

Fall a ist negativ

b := -a

|x-3b| = |x+b| -2b
x - 3b >= 0 <=> x >= 3b
x + b >= 0 <=> x >= -b

Fall b ist positiv und x >= 3b

x - 3b = x + b - 2b
-3b = -b
b = 0 => hatten wir schon

Fall b ist positiv und x < 3b und x >= -b

-x + 3b = x + b - 2b
-2x = -4b
x = 2b

Fall b ist positiv und x < -b

-x + 3b = -x - b - 2b
3b = -3b
b = 0 => hatten wir schon

für a < 0 existiert nur die Lsg. x = -2a

a = -2 => x = 4
|x+3a| - |x-a| = 2a
|4-6| - |4+2| = -4
2 - 6 = -4 => w. A.

---

Zur Aufgabe 3:

f(x) = r * x; h < H und h' < H

V1 = pi * INT[ 0; h ] f^2(x) dx
V2 = pi * INT[ H-h'; H ] f^2(x) dx
Beide Volumina müssen gleich sein => pi fällt weg

F'(x) = r^2 * x^3/3 + C

F'(h) - F'(0) = F'(H) - F'(H-h')

r^2*h^3/3 - 0 = r^2*H^3/3 - r^2*(H-h')^3/3 | r^2 fällt weg
h^3 = H^3 - (H-h')^3
(H-h')^3 = H^3-h^3
H-h' = cbrt(H^3-h^3)
h' = H - cbrt(H^3-h^3)

Gruß,
Walter

@Lena, im Zeitalter des Internets ist es immer öfters üblich die Rechtschreibung dem englischen anzugleichen => keine Großschreibung
Wer hat behauptet die Rechtschreibreform hat einen Sinn gemacht?
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Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 22:20:   Beitrag drucken

Zur Aufgabe 2.

n >= 1 und k => 1 ja

(n+k)^2 - n^2 = n^2 + 2kn + k^2 - n^2 = 2kn + k^2
= k*(2n+k)

da k >= 1 ist, kann nie 1 oder 2 herauskommen
weil 1 * ( 2n + 1 ) bereits mind. 3 ist;

wenn k = 1 ist, kommen alle ungeraden zahlen mit der Ausnahme von 1 heraus;

k*(2n+k) = 2^m

8 = 2 * (2n + 2) => n = 1 => m = 3
32 = 4 * (2n + 4) => n = 2 => m = 5
128 = 8 * (2n + 8) => n = 4 => m = 7
512 = 16 * (2n + 16) => n = 8 => m = 9

m muß eine ungerade Zahls ein;

2^(2n) ist nie ergebnis der Diff. 2er Quadratzahlen

k*(2n+k) = 2*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 2*m
2l*(n+l) = m
=> die Differenz ist keie Zahl bei der die 2 in Primfaktorenzerlegung mit Vielfachheit 1 auftritt;

k*(2n+k) = 4*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 4*m
l*(n+l) = m
=> wenn l = 1 ist, kann m jede beliebige Zahl sein, für welche gilt: m >= 2; somit ist auch 4 als Ergebnis ausgeschlossen;

Vielleicht fallen noch wen Zahlen ein, die nicht als Differenz 2er Quadratzahlen dargestellt werden können;

---

Zur Aufgabe 1:

Fall a ist positiv

|x+3a| - |x-a| = 2a
x + 3a >= 0 <=> x >= -3a
x - a >= 0 <=> x >= a

Fall a ist positiv und x >= a

x + 3a - x + a = 2a => nur mögl. für a = 0
für a = 0 ist der gesamte Def. Bereich Lsg. der Gleichung

Fall a ist positiv und x >= -3a und x < a

x + 3a + x - a = 2a
2x + 2a = 2a
x = 0

Fall a ist positiv und x < -3a

-x - 3a + x - a = 2a
-4a = 2a
a = 0 => hatten wir schon

für a > 0 existiert nur die Lsg. x = 0

Fall a ist negativ

b := -a

|x-3b| = |x+b| -2b
x - 3b >= 0 <=> x >= 3b
x + b >= 0 <=> x >= -b

Fall b ist positiv und x >= 3b

x - 3b = x + b - 2b
-3b = -b
b = 0 => hatten wir schon

Fall b ist positiv und x < 3b und x >= -b

-x + 3b = x + b - 2b
-2x = -4b
x = 2b

Fall b ist positiv und x < -b

-x + 3b = -x - b - 2b
3b = -3b
b = 0 => hatten wir schon

für a < 0 existiert nur die Lsg. x = -2a

a = -2 => x = 4
|x+3a| - |x-a| = 2a
|4-6| - |4+2| = -4
2 - 6 = -4 => w. A.

---

Zur Aufgabe 3:

f(x) = r * x; h < H und h' < H

V1 = pi * INT[ 0; h ] f^2(x) dx
V2 = pi * INT[ H-h'; H ] f^2(x) dx
Beide Volumina müssen gleich sein => pi fällt weg

F'(x) = r^2 * x^3/3 + C

F'(h) - F'(0) = F'(H) - F'(H-h')

r^2*h^3/3 - 0 = r^2*H^3/3 - r^2*(H-h')^3/3 | r^2 fällt weg
h^3 = H^3 - (H-h')^3
(H-h')^3 = H^3-h^3
H-h' = cbrt(H^3-h^3)
h' = H - cbrt(H^3-h^3)

Gruß,
Walter

@Lena, im Zeitalter des Internets ist es immer öfters üblich die Rechtschreibung dem englischen anzugleichen => keine Großschreibung
Wer hat behauptet die Rechtschreibreform hat einen Sinn gemacht?
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oder auch verwirrt *ggg* Zur Aufgabe 2.

n >= 1 und k => 1

(n+k)^2 - n^2 = n^2 + 2kn + k^2 - n^2 = 2kn + k^2
= k*(2n+k)

da k >= 1 ist, kann nie 1 oder 2 herauskommen
weil 1 * ( 2n + 1 ) bereits mind. 3 ist;

wenn k = 1 ist, kommen alle ungeraden zahlen mit der Ausnahme von 1 heraus;

k*(2n+k) = 2^m

8 = 2 * (2n + 2) => n = 1 => m = 3
32 = 4 * (2n + 4) => n = 2 => m = 5
128 = 8 * (2n + 8) => n = 4 => m = 7
512 = 16 * (2n + 16) => n = 8 => m = 9

m muß eine ungerade Zahls ein;

2^(2n) ist nie ergebnis der Diff. 2er Quadratzahlen

k*(2n+k) = 2*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 2*m
2l*(n+l) = m
=> die Differenz ist keie Zahl bei der die 2 in Primfaktorenzerlegung mit Vielfachheit 1 auftritt;

k*(2n+k) = 4*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 4*m
l*(n+l) = m
=> wenn l = 1 ist, kann m jede beliebige Zahl sein, für welche gilt: m >= 2; somit ist auch 4 als Ergebnis ausgeschlossen;

Vielleicht fallen noch wen Zahlen ein, die nicht als Differenz 2er Quadratzahlen dargestellt werden können;

---

Zur Aufgabe 1:

Fall a ist positiv

|x+3a| - |x-a| = 2a
x + 3a >= 0 <=> x >= -3a
x - a >= 0 <=> x >= a

Fall a ist positiv und x >= a

x + 3a - x + a = 2a => nur mögl. für a = 0
für a = 0 ist der gesamte Def. Bereich Lsg. der Gleichung

Fall a ist positiv und x >= -3a und x < a

x + 3a + x - a = 2a
2x + 2a = 2a
x = 0

Fall a ist positiv und x < -3a

-x - 3a + x - a = 2a
-4a = 2a
a = 0 => hatten wir schon

für a > 0 existiert nur die Lsg. x = 0

Fall a ist negativ

b := -a

|x-3b| = |x+b| -2b
x - 3b >= 0 <=> x >= 3b
x + b >= 0 <=> x >= -b

Fall b ist positiv und x >= 3b

x - 3b = x + b - 2b
-3b = -b
b = 0 => hatten wir schon

Fall b ist positiv und x < 3b und x >= -b

-x + 3b = x + b - 2b
-2x = -4b
x = 2b

Fall b ist positiv und x < -b

-x + 3b = -x - b - 2b
3b = -3b
b = 0 => hatten wir schon

für a < 0 existiert nur die Lsg. x = -2a

a = -2 => x = 4
|x+3a| - |x-a| = 2a
|4-6| - |4+2| = -4
2 - 6 = -4 => w. A.

---

Zur Aufgabe 3:

f(x) = r * x; h < H und h' < H

V1 = pi * INT[ 0; h ] f^2(x) dx
V2 = pi * INT[ H-h'; H ] f^2(x) dx
Beide Volumina müssen gleich sein => pi fällt weg

F'(x) = r^2 * x^3/3 + C

F'(h) - F'(0) = F'(H) - F'(H-h')

r^2*h^3/3 - 0 = r^2*H^3/3 - r^2*(H-h')^3/3 | r^2 fällt weg
h^3 = H^3 - (H-h')^3
(H-h')^3 = H^3-h^3
H-h' = cbrt(H^3-h^3)
h' = H - cbrt(H^3-h^3)

Gruß,
Walter

@Lena, im Zeitalter des Internets ist es immer öfters üblich die Rechtschreibung dem englischen anzugleichen => keine Großschreibung
Wer hat behauptet die Rechtschreibreform hat einen Sinn gemacht?
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Mainzi Man,
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Zur Aufgabe 2.

n >= 1 und k => 1 ja

(n+k)^2 - n^2 = n^2 + 2kn + k^2 - n^2 = 2kn + k^2
= k*(2n+k)
g
da k >= 1 ist, kann nie 1 oder 2 herauskommen
weil 1 * ( 2n + 1 ) bereits mind. 3 ist;

wenn k = 1 ist, kommen alle ungeraden zahlen mit der Ausnahme von 1 heraus;

k*(2n+k) = 2^m

8 = 2 * (2n + 2) => n = 1 => m = 3
32 = 4 * (2n + 4) => n = 2 => m = 5
128 = 8 * (2n + 8) => n = 4 => m = 7
512 = 16 * (2n + 16) => n = 8 => m = 9

m muß eine ungerade Zahls ein;

2^(2n) ist nie ergebnis der Diff. 2er Quadratzahlen

k*(2n+k) = 2*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 2*m
2l*(n+l) = m
=> die Differenz ist keie Zahl bei der die 2 in Primfaktorenzerlegung mit Vielfachheit 1 auftritt;

k*(2n+k) = 4*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 4*m
l*(n+l) = m
=> wenn l = 1 ist, kann m jede beliebige Zahl sein, für welche gilt: m >= 2; somit ist auch 4 als Ergebnis ausgeschlossen;

Vielleicht fallen noch wen Zahlen ein, die nicht als Differenz 2er Quadratzahlen dargestellt werden können;

---

Zur Aufgabe 1:

Fall a ist positiv

|x+3a| - |x-a| = 2a
x + 3a >= 0 <=> x >= -3a
x - a >= 0 <=> x >= a

Fall a ist positiv und x >= a

x + 3a - x + a = 2a => nur mögl. für a = 0
für a = 0 ist der gesamte Def. Bereich Lsg. der Gleichung

Fall a ist positiv und x >= -3a und x < a

x + 3a + x - a = 2a
2x + 2a = 2a
x = 0

Fall a ist positiv und x < -3a

-x - 3a + x - a = 2a
-4a = 2a
a = 0 => hatten wir schon

für a > 0 existiert nur die Lsg. x = 0

Fall a ist negativ

b := -a

|x-3b| = |x+b| -2b
x - 3b >= 0 <=> x >= 3b
x + b >= 0 <=> x >= -b

Fall b ist positiv und x >= 3b

x - 3b = x + b - 2b
-3b = -b
b = 0 => hatten wir schon

Fall b ist positiv und x < 3b und x >= -b

-x + 3b = x + b - 2b
-2x = -4b
x = 2b

Fall b ist positiv und x < -b

-x + 3b = -x - b - 2b
3b = -3b
b = 0 => hatten wir schon

für a < 0 existiert nur die Lsg. x = -2a

a = -2 => x = 4
|x+3a| - |x-a| = 2a
|4-6| - |4+2| = -4
2 - 6 = -4 => w. A.

---

Zur Aufgabe 3:

f(x) = r * x; h < H und h' < H

V1 = pi * INT[ 0; h ] f^2(x) dx
V2 = pi * INT[ H-h'; H ] f^2(x) dx
Beide Volumina müssen gleich sein => pi fällt weg

F'(x) = r^2 * x^3/3 + C

F'(h) - F'(0) = F'(H) - F'(H-h')

r^2*h^3/3 - 0 = r^2*H^3/3 - r^2*(H-h')^3/3 | r^2 fällt weg
h^3 = H^3 - (H-h')^3
(H-h')^3 = H^3-h^3
H-h' = cbrt(H^3-h^3)
h' = H - cbrt(H^3-h^3)

Gruß,
Walter

@Lena, im Zeitalter des Internets ist es immer öfters üblich die Rechtschreibung dem englischen anzugleichen => keine Großschreibung
Wer hat behauptet die Rechtschreibreform hat einen Sinn gemacht?
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Mainzi Man,
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das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg* Zur Aufgabe 2.

n >= 1 und k => 1

(n+k)^2 - n^2 = n^2 + 2kn + k^2 - n^2 = 2kn + k^2
= k*(2n+k)

da k >= 1 ist, kann nie 1 oder 2 herauskommen
weil 1 * ( 2n + 1 ) bereits mind. 3 ist;

wenn k = 1 ist, kommen alle ungeraden zahlen mit der Ausnahme von 1 heraus;

k*(2n+k) = 2^m

8 = 2 * (2n + 2) => n = 1 => m = 3
32 = 4 * (2n + 4) => n = 2 => m = 5
128 = 8 * (2n + 8) => n = 4 => m = 7
512 = 16 * (2n + 16) => n = 8 => m = 9

m muß eine ungerade Zahls ein;

2^(2n) ist nie ergebnis der Diff. 2er Quadratzahlen

k*(2n+k) = 2*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 2*m
2l*(n+l) = m
=> die Differenz ist keie Zahl bei der die 2 in Primfaktorenzerlegung mit Vielfachheit 1 auftritt;

k*(2n+k) = 4*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 4*m
l*(n+l) = m
=> wenn l = 1 ist, kann m jede beliebige Zahl sein, für welche gilt: m >= 2; somit ist auch 4 als Ergebnis ausgeschlossen;

Vielleicht fallen noch wen Zahlen ein, die nicht als Differenz 2er Quadratzahlen dargestellt werden können;

---

Zur Aufgabe 1:

Fall a ist positiv

|x+3a| - |x-a| = 2a
x + 3a >= 0 <=> x >= -3a
x - a >= 0 <=> x >= a

Fall a ist positiv und x >= a

x + 3a - x + a = 2a => nur mögl. für a = 0
für a = 0 ist der gesamte Def. Bereich Lsg. der Gleichung

Fall a ist positiv und x >= -3a und x < a

x + 3a + x - a = 2a
2x + 2a = 2a
x = 0

Fall a ist positiv und x < -3a

-x - 3a + x - a = 2a
-4a = 2a
a = 0 => hatten wir schon

für a > 0 existiert nur die Lsg. x = 0

Fall a ist negativ

b := -a

|x-3b| = |x+b| -2b
x - 3b >= 0 <=> x >= 3b
x + b >= 0 <=> x >= -b

Fall b ist positiv und x >= 3b

x - 3b = x + b - 2b
-3b = -b
b = 0 => hatten wir schon

Fall b ist positiv und x < 3b und x >= -b

-x + 3b = x + b - 2b
-2x = -4b
x = 2b

Fall b ist positiv und x < -b

-x + 3b = -x - b - 2b
3b = -3b
b = 0 => hatten wir schon

für a < 0 existiert nur die Lsg. x = -2a

a = -2 => x = 4
|x+3a| - |x-a| = 2a
|4-6| - |4+2| = -4
2 - 6 = -4 => w. A.

---

Zur Aufgabe 3:

f(x) = r * x; h < H und h' < H

V1 = pi * INT[ 0; h ] f^2(x) dx
V2 = pi * INT[ H-h'; H ] f^2(x) dx
Beide Volumina müssen gleich sein => pi fällt weg

F'(x) = r^2 * x^3/3 + C

F'(h) - F'(0) = F'(H) - F'(H-h')

r^2*h^3/3 - 0 = r^2*H^3/3 - r^2*(H-h')^3/3 | r^2 fällt weg
h^3 = H^3 - (H-h')^3
(H-h')^3 = H^3-h^3
H-h' = cbrt(H^3-h^3)
h' = H - cbrt(H^3-h^3)

Gruß,
Walter

@Lena, im Zeitalter des Internets ist es immer öfters üblich die Rechtschreibung dem englischen anzugleichen => keine Großschreibung
Wer hat behauptet die Rechtschreibreform hat einen Sinn gemacht?
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Zur Aufgabe 2.

n >= 1 und k => 1 jan

(n+k)^2 - n^2 = n^2 + 2kn + k^2 - n^2 = 2kn + k^2
= k*(2n+k)
g
da k >= 1 ist, kann nie 1 oder 2 herauskommen
weil 1 * ( 2n + 1 ) bereits mind. 3 ist;

wenn k = 1 ist, kommen alle ungeraden zahlen mit der Ausnahme von 1 heraus;

k*(2n+k) = 2^m

8 = 2 * (2n + 2) => n = 1 => m = 3
32 = 4 * (2n + 4) => n = 2 => m = 5
128 = 8 * (2n + 8) => n = 4 => m = 7
512 = 16 * (2n + 16) => n = 8 => m = 9

m muß eine ungerade Zahls ein;

2^(2n) ist nie ergebnis der Diff. 2er Quadratzahlen

k*(2n+k) = 2*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 2*m
2l*(n+l) = m
=> die Differenz ist keie Zahl bei der die 2 in Primfaktorenzerlegung mit Vielfachheit 1 auftritt;

k*(2n+k) = 4*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 4*m
l*(n+l) = m
=> wenn l = 1 ist, kann m jede beliebige Zahl sein, für welche gilt: m >= 2; somit ist auch 4 als Ergebnis ausgeschlossen;

Vielleicht fallen noch wen Zahlen ein, die nicht als Differenz 2er Quadratzahlen dargestellt werden können;

---

Zur Aufgabe 1:

Fall a ist positiv

|x+3a| - |x-a| = 2a
x + 3a >= 0 <=> x >= -3a
x - a >= 0 <=> x >= a

Fall a ist positiv und x >= a

x + 3a - x + a = 2a => nur mögl. für a = 0
für a = 0 ist der gesamte Def. Bereich Lsg. der Gleichung

Fall a ist positiv und x >= -3a und x < a

x + 3a + x - a = 2a
2x + 2a = 2a
x = 0

Fall a ist positiv und x < -3a

-x - 3a + x - a = 2a
-4a = 2a
a = 0 => hatten wir schon

für a > 0 existiert nur die Lsg. x = 0

Fall a ist negativ

b := -a

|x-3b| = |x+b| -2b
x - 3b >= 0 <=> x >= 3b
x + b >= 0 <=> x >= -b

Fall b ist positiv und x >= 3b

x - 3b = x + b - 2b
-3b = -b
b = 0 => hatten wir schon

Fall b ist positiv und x < 3b und x >= -b

-x + 3b = x + b - 2b
-2x = -4b
x = 2b

Fall b ist positiv und x < -b

-x + 3b = -x - b - 2b
3b = -3b
b = 0 => hatten wir schon

für a < 0 existiert nur die Lsg. x = -2a

a = -2 => x = 4
|x+3a| - |x-a| = 2a
|4-6| - |4+2| = -4
2 - 6 = -4 => w. A.

---

Zur Aufgabe 3:

f(x) = r * x; h < H und h' < H

V1 = pi * INT[ 0; h ] f^2(x) dx
V2 = pi * INT[ H-h'; H ] f^2(x) dx
Beide Volumina müssen gleich sein => pi fällt weg

F'(x) = r^2 * x^3/3 + C

F'(h) - F'(0) = F'(H) - F'(H-h')

r^2*h^3/3 - 0 = r^2*H^3/3 - r^2*(H-h')^3/3 | r^2 fällt weg
h^3 = H^3 - (H-h')^3
(H-h')^3 = H^3-h^3
H-h' = cbrt(H^3-h^3)
h' = H - cbrt(H^3-h^3)

Gruß,
Walter

@Lena, im Zeitalter des Internets ist es immer öfters üblich die Rechtschreibung dem englischen anzugleichen => keine Großschreibung
Wer hat behauptet die Rechtschreibreform hat einen Sinn gemacht?
-------------------------------------------------- ------------------------------
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg* Zur Aufgabe 2.

n >= 1 und k => 1

(n+k)^2 - n^2 = n^2 + 2kn + k^2 - n^2 = 2kn + k^2
= k*(2n+k)

da k >= 1 ist, kann nie 1 oder 2 herauskommen
weil 1 * ( 2n + 1 ) bereits mind. 3 ist;

wenn k = 1 ist, kommen alle ungeraden zahlen mit der Ausnahme von 1 heraus;

k*(2n+k) = 2^m

8 = 2 * (2n + 2) => n = 1 => m = 3
32 = 4 * (2n + 4) => n = 2 => m = 5
128 = 8 * (2n + 8) => n = 4 => m = 7
512 = 16 * (2n + 16) => n = 8 => m = 9

m muß eine ungerade Zahls ein;

2^(2n) ist nie ergebnis der Diff. 2er Quadratzahlen

k*(2n+k) = 2*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 2*m
2l*(n+l) = m
=> die Differenz ist keie Zahl bei der die 2 in Primfaktorenzerlegung mit Vielfachheit 1 auftritt;

k*(2n+k) = 4*m
=> k muß herade sein, k = 2l
2l*(2n+2l) = 4*m
l*(n+l) = m
=> wenn l = 1 ist, kann m jede beliebige Zahl sein, für welche gilt: m >= 2; somit ist auch 4 als Ergebnis ausgeschlossen;

Vielleicht fallen noch wen Zahlen ein, die nicht als Differenz 2er Quadratzahlen dargestellt werden können;

---

Zur Aufgabe 1:

Fall a ist positiv

|x+3a| - |x-a| = 2a
x + 3a >= 0 <=> x >= -3a
x - a >= 0 <=> x >= a

Fall a ist positiv und x >= a

x + 3a - x + a = 2a => nur mögl. für a = 0
für a = 0 ist der gesamte Def. Bereich Lsg. der Gleichung

Fall a ist positiv und x >= -3a und x < a

x + 3a + x - a = 2a
2x + 2a = 2a
x = 0

Fall a ist positiv und x < -3a

-x - 3a + x - a = 2a
-4a = 2a
a = 0 => hatten wir schon

für a > 0 existiert nur die Lsg. x = 0

Fall a ist negativ

b := -a

|x-3b| = |x+b| -2b
x - 3b >= 0 <=> x >= 3b
x + b >= 0 <=> x >= -b

Fall b ist positiv und x >= 3b

x - 3b = x + b - 2b
-3b = -b
b = 0 => hatten wir schon

Fall b ist positiv und x < 3b und x >= -b

-x + 3b = x + b - 2b
-2x = -4b
x = 2b

Fall b ist positiv und x < -b

-x + 3b = -x - b - 2b
3b = -3b
b = 0 => hatten wir schon

für a < 0 existiert nur die Lsg. x = -2a

a = -2 => x = 4
|x+3a| - |x-a| = 2a
|4-6| - |4+2| = -4
2 - 6 = -4 => w. A.

---

Zur Aufgabe 3:

f(x) = r * x; h < H und h' < H

V1 = pi * INT[ 0; h ] f^2(x) dx
V2 = pi * INT[ H-h'; H ] f^2(x) dx
Beide Volumina müssen gleich sein => pi fällt weg

F'(x) = r^2 * x^3/3 + C

F'(h) - F'(0) = F'(H) - F'(H-h')

r^2*h^3/3 - 0 = r^2*H^3/3 - r^2*(H-h')^3/3 | r^2 fällt weg
h^3 = H^3 - (H-h')^3
(H-h')^3 = H^3-h^3
H-h' = cbrt(H^3-h^3)
h' = H - cbrt(H^3-h^3)

Gruß,
Walter

@Lena, im Zeitalter des Internets ist es immer öfters üblich die Rechtschreibung dem englischen anzugleichen => keine Großschreibung
Wer hat behauptet die Rechtschreibreform hat einen Sinn gemacht?
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Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*

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