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Beitrag |
    
Juliane (schihasl)
Neues Mitglied
Benutzername: schihasl
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 18:55: | 
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Hallo!
(an) = a1+d(n+1) Þ arithmetrische Folge
wie leitet man die allgemeine Formel für die Reihenfolge sn = n*(a1+([n-1]/2)*d) her?
an = a1*qn-1 Þ geometrische Folge
wie leitet man die allgemeine Formel für die Reihenfolge sn = a1*([1-qn]/[1-q]) her?
und wie die Grenzwertformel lim (n gegen unendlich) = a1/(1-q)?
Vielen Dank &Gruß Jule |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 415
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. September, 2002 - 19:49: |
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Aritmethische:
wenn m die Gliedanzahl ist betrachte mal die Folge der Ausdrücke
(a1+am),(a2+am-1),(a3+am-2),...
die lassen sich ganz leicht summieren, von dieser Summe must Du dann die Hälfte nehmen
Geometrische:
Bilde die Differenz
q*sm - sm für den "ausgeschriebenen"
Summenausdruck a1+a1q+a1q²+... |
Juliane (schihasl)
Neues Mitglied
Benutzername: schihasl
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 21:38: |
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Hi...
Naja, was soll ich sagen... ?????
Das steht so in etwa im Tafelwerk, ich versteh das nicht so ganz, aber das macht jetzt auch nix mehr, weil wir das nicht unbedingt herleiten können.
Trotzdem würde ich es gern verstehen, aber ok, ist schwierig, muss nicht sein...
Gruß Jule |
mythos2002 (mythos2002)
Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 22:34: |
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Hi Jule,
1. Zu arith. Reihe:
Mache mal folgendes Experiment:
4 + 7 + 10 + 13 + ...... + 28 + 31 + 34 + 37 = ?
d=3;
das sind 12 Glieder, denn 37 = 4 + (12 - 1)*3
Zur Summe nehme nun:
Das 1. und letzte (12.) = 41 (= a1 + an)
Das 2. und vorletzte (11.) = 41
Das 3. und drittletzte (10.) = 41
......
Wie oft kannst Du dies machen? Genau 6 mal, das ist n/2 mal.
Die Summe ist daher 6*41 = 246!
Allgemein ist:
sn = (n/2)*(a1 + a_n) = n*(a1 + a_n)/2
=====....................================
bzw. sn = (n/2)*[2a1 + (n - 1)*d]
Wie schaut das nun bei 13 Gliedern aus?
4 + 7 + 10 + 13 + ...... + 28 + 31 + 34 + 37 + 40 = ?
Zur Summe ist:
Das 1. und letzte (13.) = 44 (= a1 + an)
Das 2. und vorletzte (12.) = 44
Das 3. und drittletzte (11.) = 44
......
Das kann man ebenfalls 6 mal machen, aber nun bleibt in der Mitte ein Glied stehen, das a7, das ist 22 = 4 + (7-1)*3, die Hälfte von 44
Die ganze Summe ist nun: s13 = 6*44 + 22 = 12*22 + 22 = 13*22!
Allgemein ist wieder: sn = n*(a1 + a_n)/2
--> Die Summe ist immer gleich sn = n*(a1 + a_n)/2
Dieses Experiment kann man auch gleich allgemein machen und kommt dann auf diese Summenformel. Zum besseren Verständnis habe ich das mal mit Zahlen durchgespielt!
2. Zu geometr. Reihe (das geht gut allgemein):
Gleichg. 1: sn = a1 + a1*q + a1*q² + a1*q³ + ... + a1*q^(n-1) | *q | -
Gleichg. 2: sn*q = a1*q + a1*q² + a1*q³ + ... + a1*q^(n-1) + a1*q^n
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Gleichg. 2 ist die mit q multiplizierte Gleichg. 1
Gleichg. 1 von Gleichg. 2 subtrahieren! -->
sn*q - sn = a1*q^n - a1, alle anderen Summanden heben sich auf!
Somit folgt:
sn*(q - 1) = a1*(q^n - 1)
sn = a1*(q^n - 1)/(q - 1), ( q <> 1)
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