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Beitrag |
    
Susann
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. März, 2001 - 12:23: | 
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a²x-lnx
gleichung der funktion gesucht, auf deren graphen alle lokalen extrempunkte der graphen der funktion liegen ??
und genau eine Fkt. die genau eine nullstelle besitzt, nullstelle ermitteln |
Kristin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. März, 2001 - 15:00: |
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Hallo!
Also, als 1. rechnet man die Extremstellen aus. Dafür brauchen wir ja die Ableitungen. Die sind (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
f'(x)= a²-1/x
f''(x)= 1/x²
Damit erhält man dann einen Hochpunkt bei
H(1/a²|-ln(a²))
So, jetzt stellt man folgende Gleichung auf:
x=1/a² UND y=-ln(a²)
Man formt den ersten Teil um zu a²=1/x und setzt ihn in die zweite Gleichung ein. Dann erhält man y=-ln(1/x) <=> y=lnx
Damit ist die Funktion, auf der alle Extrempunkte liegen, g(x)=lnx
Beim zweiten Teil müsste man a²x-lnx=0 setzen, aber ich habe Probleme mit dem Umformen. Man muss da wahrscheinlich irgendein Trick anwenden, um das heraus zu finden. Aber ich rechne noch ein bisschen und sag Dir dann Bescheid!
Kristin |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. März, 2001 - 21:58: |
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Hi Kristin,
Bei Deiner Berechnung haben sich Fehler eingenistet.
1.
Es handelt sich nicht um einen Hochpunkt H sondern
um einen Tiefpunkt, da mit xo = 1 / a^2 die zweite
Ableitung f'' ( xo ) = a ^ 4 positiv ist.
2.
Die Koordinaten von T lauten richtig: xT = xo = 1/ a^2
yT = 1 + ln (a^2) (nicht : y = - ln a^2),
sodass als Gleichung der gesuchten Ortskurve
y = 1 - ln x herauskommt.
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Zweiter Teil der Aufgabe
Diese Aufgabe sollte zuerst besser formuliert werden, z. B. so :
In der Gleichung a ^ 2 = 1 / x bestimme man a so ,dass die
Gleichung genau eine Lösung hat.
Berechne diese Lösung .
Wendung der Aufgabe
Durch den Nullpunkt O lege man eine Gerade g ,
Gleichung y = a ^ 2 * x , welche die Logarithmuskurve
y = ln x berührt.
Lösung
Der gesuchte Berührungspunkt B habe die Koordinaten
x = u , y = v.
Dann muss gelten
v / u = a ^ 2 ( Steigung von g)
Diese Steigung muss übereinstimmen mit der Steigung
1 / u der Logarithmuskurve im Punkt B( u / v )
Daher kommt mit v / u = 1 / u
v = 1 und damit ( wegen v = ln u ) : u = e
Für a ergibt sich nach leichter Rechnung a ^ 2 = v / u = 1/e ,also
a = wurzel ( 1 / e )
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Mit freundlichem Grüssen , auch an Susann
H.R.Moser,megamath. |
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