Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Geschwindigkeit im Tunnel

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Differentialrechnung » Extremwertaufgaben » Optimierung » Geschwindigkeit im Tunnel « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Stephen
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 10:31:   Beitrag drucken

Für die einen Tunnel durchfahrenden Kraftfahrzeuge soll eine Richtgeschwindigkeit vorgeschrieben werden. Bei einer Modellrechnung wird für den Sicherheitsabstand S(v) in Metern der bei einer Geschwindigkeit von v Kilometern pro Stunde einzuhalten ist, die Formel S(v)=0,5*(v/10)² zugrundegelegt. Ferner geht man dabei von einer mittleren Fahrzeuglänge von 12m aus. Wie ist die Richtgeschwindigkeit festzulegen, damit möglichst viele Fahrzeuge den Tunnel in einer Stunde passieren können? Wie viele Fahrzeuge sind dies?
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Walter H. (mainziman)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 183
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 14:42:   Beitrag drucken

Hi Stephen,

v = 50 km/h
S(50) = 0,5 * 25 = 12,5 m

v = 100 km/h
S(100) = 0,5 * 100 = 50 m

Die Zeit die das Fahrzeug braucht um den Sicherheitsabstand zu fahren muß ein minimum sein.

v in km/h
3,6 * ( S(v) - 12 ) / v = min.
f(v) = 3,6 * ( 0,5 * v^2/100 - 12 ) / v
f(v) = 1,8 * v / 100 - 43,2 / v
f'(v) = 1,8 / 100 + 43,2 / v^2
1,8 / 100 + 43,2 / v^2 = 0
-1,8 / 100 = 43,2 / v^2
=> v ist imaginär und daher kein reales Minimum vorhanden;

f''(v) = -86,4 / v^3
=> bei jeder Geschwindigkeit ist f(v) ein Maximum

Das Problem bei dem Ganzen: verdopple ich die Richtgeschwindigkeit vervierfacht sich der Sicherheitsabstand;

sage ich aber dass der Sicherheitsabstand genau die durchschn. Fahrzeuglänge sein muß erhalte ich folgendes:
0,5 * ( v / 10 )^2 = 12
v^2 / 100 = 24
v^2 = 2400
=> v ~ 49 km/h

setze ich dieses v in meine Funktion ein, ergibt die genau 0;
setze ich eine geringere Geschwindigkeit ein, ergibt die Fkt. einen neg. Wert;

Das ganze ist, auch wenn die Tunnellänge gegeben wäre, unabhängig davon;

Vielleicht helfen Dir diese Überlegungen weiter;

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

egal
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 15:38:   Beitrag drucken

Hi Stephen,

stell dir vor du stehst am Tunnelausgang. Sobald das erste Auto vollständig aus dem Tunnel ist startest du die Stoppuhr und misst die Zeit bis das nächste Auto vollständig aus dem Tunnel ist. Das Auto muss die Strecke 12m + S(v) zurücklegen und fährt mit Geschwindigkeit 1000*v m/h (der Faktor 1000 wandelt die km/h in m/h um, damit die Einheiten übereinstimmen). Die gestoppte Zeit ist also

t = Weg/Geschw. = (12 + S(v))/(1000*v) , t ergibt sich in Stunden.

Pro Stunde passieren D = 1/t Autos das Tunnelende (egal wie lang der Tunnel ist!). Diesen Durchsatz D musst du maximieren.

D = 1/t = 1000*v/(12 + v^2/200) = 200000*v/(2400 + v^2) , als Funktion von v.

D' = 200000*(2400 - v^2)/(2400 + v^2)^2 = 0 , ergibt
v = √2400 ~ 48.99 km/h , D(48.99) ~ 2041

Als Richtgeschwindigkeit wird man also (aufgerundet) 50 km/h wählen, der maximale Durchsatz beträgt 2041 Fahrzeuge pro Stunde.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Walter H. (mainziman)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 184
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 16:01:   Beitrag drucken

Hi egal,

seltsam, Du kommst auch auf die 48,99 km/h; aus einer ganz anderen Überlegung;

bei dieser Geschwindigkeit ist der Sicherheitsabstand genau einer durchschnittlichen Fahrzeuglänge;

Gruß,
Walter

p.s. in der Realität wird der maximale Durchsatz bei 80 km/h erreicht => warum?
LKWs dürfen max. 80 km/h fahren und alle anderen werden auf diese Geschwindigkeit angepasst;
hingegen eine Richtgeschwindigkeit von 130 km/h verringert den Durchsatz, weil LKWs nicht schneller als 80 km/h fahren dürfen und der Durchsatz ein maximum ist. sobald vmax-vavg = 0 gilt;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page