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Jezz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. September, 2002 - 10:21: | 
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1) Das Innere einer zylindrischen Spule vom Radius r soll durch einen Eisenkern von kreuzförmigem Querschnitt (ein „Rechteck“ des Kreuzes hat die Breite a) möglichst ausgefüllt werden. Welche Abmessungen muss der Eisenkern haben?
Meine Lösung: a= (r³*pi)/ (Vspule*5)
Ist das richtig?
2) Aus drei Brettern von der Breite b soll eine Rinne hergestellt werden, deren Querschnitt ein gleichschenkliges Trapez ist. Wie groß müssen die Winkel zwischen den Schenkeln des Trapezes und der Grundseite gewählt werden, damit der Querschnitt möglichst groß wird?
Was ist mit „damit der Querschnitt möglichst groß wird“ gemeint? Die Fläche des Trapezes? Wenn ja, habe herausbekommen, dass die Grundseite a=c²/2 und der tan alpha= 2h/(c²-2) ist. Falls dies falsch ist, wie rechne ich es sonst?
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 400
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 14:16: |
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1) (Spule), meine ich geht wie folgt
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 401
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 14:58: |
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2) (Rinne):
Die größere Grundseite, also obere Breite der Rinne, sei (b + 2x)
dann ist
die Höhe h = Wurzel(b2-x2)
und
die Fläche F = (b+x)h,
die
Ableitung der F nach x
ist
F'= bh' + h + xh' = h'(b+x)+h,
h' = -x/h
und
für's Extremum F'=0 = -x(b+x)/h + h
x(b+x) = b2-x2
2x2 + bx - b2 = 0
x = (b/4)( Wurzel(5) - 1 ),
Obere Breite der Rinne = b + 2x = (b/2)( Wurzel(5) - 1 ),
Winkel
w der Schenkel gegenüber dem Boden der Rinne, außen:
tan(w) = h/x
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PeterL (mythos2002)
Junior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 19:27: |
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Der Lösungsweg von Friedrich ist zwar etwas unkonventionell (hinsichtlich der Einführung der Funktion h(x)), aber durchaus in Ordnung, allerdings stimmt das Ergebnis nicht!
@Friedrich
Leider ist Dir ein Fehler passiert:
...
h' = -x/h
und
für's Extremum F'=0 = -x(b+x)/h + h
x(b+x) = b²-x²
2x² + bx - b² = 0
bis daher stimmt's, dann ist aber:
x² + bx/2 - b²/2 = 0
x1,2 = -(b/4) +/- sqrt(b²/16 + b²/2) .. die Wurzel ist aber (3b/4)!!
x = -b/4 + 3b/4 = b/2 !
==..............=======
h = (b/2)*sqrt(3)
==..=============
Der Winkel in diesem halben gleichseitigen Dreieck ist dann arctan(sqrt(3)) = 60° !!
Der gesuchte Winkel der Böschung an der Grundlinie ist daher 120°.
Zu zeigen wäre noch, dass die 2. Ableitung bei b/2 negativ ist und somit ein Maximum vorliegt.
Bei Bedarf kann ich die Lösung noch etwas ausführlicher darstellen. Auch die Einführung des Winkels alfa an der Böschung als einzige Variable und das Ausdrücken aller anderen Größen in Winkelfunktionen dieses Winkels und anschließendes Ableiten nach diesem bringt das gewünschte Ergebnis
[ A = b²*sin(alfa) * (1 + cos(alfa)), b² kann als positiver, konstanter Faktor weggelassen werden
...
alfa = 60° ]
mfG
mYthos
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PeterL (mythos2002)
Junior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 21:33: |
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Hallo,
ich habe das Beispiel mit der Spule über Winkelfunktionen berechnet, weil die Wurzelausdrücke einfach zu unhandlich erscheinen. Das Ergebnis von Friedrich kann ich nicht nachvollziehen!
Der Ansatz von Friedrich ist gut und wird bis
A = a² + 4ab
verwendet und dann als Variable der Winkel alfa, den der Radius zu einer Ecke (des "liegenden") Rechteckes mit der Horizontalen einschließt, eingeführt.
Dann ist
A = a² + 4ab mit a = 2r*sin(alfa)!
................------------------
Aus a/2 + b = r*cos(alfa) folgt
b = r*[cos(alfa) - sin(alfa)]
----------------------------------
A = 4r² * sin²(alfa) + 4*2r*sin(alfa)*r*(cos(alfa) - sin(alfa))
A = 4r² * [2*sin(alfa)*cos(alfa) - sin²(alfa)]
A = 4r² * [sin(2*alfa) - sin²(alfa)]
A(alfa) = sin(2*alfa) - sin²(alfa)
A'(alfa) = 2*cos(2*alfa) - sin(2*alfa)
A'' = - 4*sin(2*alfa) - 2*cos(2*alfa) < 0 (f. 0 < alfa < 90°) --> Max!
A' = 0 --> 2*cos(2*alfa) = sin(2*alfa)
[Division d. cos(2*alfa) ist erlaubt, da <>0!!]
--> tan(2*alfa) = 2
alfa = 0,5*arctan(2) = 31,72°
Daraus: a = 1,0514*r, b = 0,3249*r
Gesamtfläche A = 2,472136*r², d.s. 78,7% der Kreisfläche
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Jezz (jezz)
Junior Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 12:29: |
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Also irgendwie verstehe ich beide Lösungen ganz und gar nicht..
Die Spule sieht so aus, dass sie aus 5 Quadraten mit der Breite a besteht. Eines oben, eines links, eines unten, eines rechts und eines in der Mitte, alle gleich groß. Der Flächeninhalt betragt also 5a². Nur wie komme ich weiter?
Die Lösung von 2) verstehe ich überhaupt nicht. |
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