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Definitionslücke

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Folgen und Reihen » Definitionslücke « Zurück Vor »

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minniem (minniem)
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Junior Mitglied
Benutzername: minniem

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 14:38:   Beitrag drucken

Könnt ihr mir bei folgender Aufgabe noch mal helfen?

Setzen Sie die Funktion

f: x --> 3 sin x/4x


in die bestehende Definitionslücke stetig fort.

Die Definitionslücke müsste für x = 0 bestehen. Aber wie gehts jetzt weiter? Kann jemand helfen?

Gruß
MinnieM
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 389
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 14:58:   Beitrag drucken

Hi minnien

Du musst jetzt einfach schauen, was für ein Grenzwert sich für x->0 ergibt. Am einfachsten ist das hier mit der Regel von l'Hospital.
lim(x->o) 3*sin(x)/(4x)=lim(x->0)3/4*cos(x)=3/4

Setzt du also f(0)=3/4 , so ist deine Funktion stetig fortgesetzt.

ps.: Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind hier gleich, weil das Vorzeichen vom Zähler und Nenner gleich sind in der Nähe von 0. Zum Beispiel für -1<x<1.

MfG
C. Schmidt
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 390
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 15:05:   Beitrag drucken

Vielleicht doch noch ein paar kleine Anmerkungen. Satz von l'Hospital sagt folgendes aus:
Angenommen du hast zwei Funktionen f(x) und g(x) und du willst den Grenzwert für x->a von f(x)/g(x)bestimmen.
Gilt jetzt
lim(x->a) f(x)=0
lim(x->a) g(x)=0
, so berechnet sich der Grenzwert von f(x)/g(x) wie folgt:
lim(x->a)f(x)/g(x)=lim(x->a)f'(x)/g'(x)

In deinem Fall ist f(x)=3sin(x)
und g(x)=4x

Die Regel von l'Hospital gilt übrigens auch, wenn Zähler und Nenner gegen +-unendlich laufen.


MfG
C. Schmidt
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minniem (minniem)
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Mitglied
Benutzername: minniem

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 16:33:   Beitrag drucken

Hallo, Christian,

vielen Dank für die Mühe, aber ich verstehe es leider trotzdem nicht. Den Satz von l'Hospital kann ich in meinen Büchern auch nicht finden.
Bei uns im Buch wurde so ein Nachweis geometrisch geführt und das habe ich leider auch nicht verstanden.

Gruß
MinnieM
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mondkalb (mondkalb)
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Neues Mitglied
Benutzername: mondkalb

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 11:10:   Beitrag drucken

Hallo MinnieM,

beschreib doch mal kurz den geometrischen Nachweis, sonst kann es dir ja auch keiner erklären. Wenn dir der Satz von l'Hospital nichts sagt, dann sei beruhigt, er gehört nämlich gar nicht zum Lehrplan :-) (bei uns in Bayern zumindest)

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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 396
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 14:47:   Beitrag drucken

Hi minniem

Ich glaub ich weiss, was du meinst. Es geht ja im Prinzip um den Grenzwert sin(x)/x.
Ich hab hier mal eine sehr schlechte Zeichnung angefertigt, die du irgendwie noch vergrößern musst ;)
dreieck

Hier kannst du jetzt mehrere Gleichungen aufstellen.
Die Fläche des kleinen Dreiecks ist
1/2*sin(x)*cos(x)
Der Kreissektor hat die Fläche
x/(2*Pi)*1^2*Pi=x/2
Das große Dreieck hat die Fläche
1/2*tan(x).

Es gilt also:
sin(x)*cos(x)<=x<=tan(x)
=>
cos(x)<=sin(x)/x<=1/cos(x)

Da die linke und rechte Seite gegen 1 streben für x gegen 0, muss auch sin(x)/x gegen 1 streben(Vergleichskriterium).

MfG
C. Schmidt
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 397
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 14:49:   Beitrag drucken

Hätte ich vielleicht mal irgendwie besser zurechtschneiden sollen...

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minniem (minniem)
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Mitglied
Benutzername: minniem

Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. August, 2002 - 16:32:   Beitrag drucken

Hallo, Christian,

trotzdem noch mal ne Frage: Wieso setzt du oben den Cosinus anstatt des Sinus ein? Das Prinzip der Berechnung habe ich ja jetzt verstanden, aber an der Stelle hakt es trotzdem noch bei mir.

Gruß
MinnieM
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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 401
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. August, 2002 - 16:38:   Beitrag drucken

Meinst du bei der Regel von l'Hospital??
Da is das, weil der cosinus die Ableitung vom sinus ist.

MfG
C. Schmidt
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minniem (minniem)
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Benutzername: minniem

Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. September, 2002 - 12:34:   Beitrag drucken

Hallo, Christian,

vielen Dank. Hat zwar etwas gedauert, aber jetzt habe ich's.

Gruß
MinnieM

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