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Beweise durch vollständige Induktion

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Folgen und Reihen » Beweise durch vollständige Induktion « Zurück Vor »

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minniem (minniem)
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Neues Mitglied
Benutzername: minniem

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 13:21:   Beitrag drucken

Hallo,

ich habe Schwierigkeiten, diese Beweise durch vollständige Induktion zu verstehen.

Folgendes Beispiel:

s1 = 1/(2*1+1)
sn = n/(2*n+1) (Induktionsvoraussetzung)

Nachweis:

s(n+1) = s(n) + 1/[(2(k+1)-1)* (2 (k+1) +1)]

= s(k) + 1/[(2k+1)* (2k+3)].

Was ich einfach nicht nachvollziehen kann, ist :

Wie kommt man auf:
1/[(2(k+1)-1)* (2 (k+1) +1)](als Summand)???

Kann mir das jemand erklären? Ich kann die Berechnung leider überhaupt nicht nachvollziehen. Tausend Dank schon mal.

MinnieM
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 382
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 14:37:   Beitrag drucken

Hi minniem

Was willst du denn überhaupt beweisen??
Ich finde hier zwar Induktionsanfang und Voraussetzung, aber irgendwie keine Aufgabenstellung wozu das überhaupt gehört.

MfG
C. Schmidt
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minniem (minniem)
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Neues Mitglied
Benutzername: minniem

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 14:44:   Beitrag drucken

Hallo, Christian,

beweisen muß ich daß

sn = n/(2*n+1)

Der Beweis steht ja auch da, nur verstehe ich ihn nicht.
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Robert (emperor2002)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: emperor2002

Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 14:59:   Beitrag drucken

@minniem

Nun gut, ich glaube dass ist deutlich geworden dass es sich um diese Formel handelt die man beiweisen soll, aber ich glaube was Christian meinte ist, dass du mal versuchst auszudrücken was das darstellen soll, also was ist "sn" und was soll diese Summenformel denn berechnen, denn ohne das kann man auch nicht die Verankerung / Induktionsanfang durchführen!

Also bitte erkläre mal alles ausführlich - Formeln sagen nun leider auch nicht alles!

Gruß Robert
MFG Robert

www.mathefreak.de / webmaster@mathefreak.de
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 384
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 15:21:   Beitrag drucken

Di minniem

Nur mal als Beispiel. Angenommen du willst die Summe der ersten n Zahlen berechnen. Dann gibts es die bekannte Formel n(n+1)/2. Du kannst das natürlich auch als Folge nehmen. sn=n(n+1)/2. Das kannst du jetzt mit vollständiger Induktion überprüfen, weil du weisst, was die Folge liefern soll, nämlich die Summe der ersten n Zahlen.
In deinem Fall ist es aber so, dass man ja gar nicht weiss, was di Folge liefern soll. Ich kann ja auch einfach die Folge sn=n/(2n+1) definieren. Daraus folgt sn=n/(2n+1), aber dafür brauche ich keine Induktion.

MfG
C. Schmidt
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Karl
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 15:29:   Beitrag drucken

Hey,

Christian S hat Recht. Du hast die Aufgabenstellung vergessen! Soweit sich die aus Deinen Angaben erkennen läßt, lautet sie:


Zeige: Summe(1 bis n) 1/(2k-1)(2k+1) = n/(2n+1)

I)Ind.anfang n=1: li.Seite: Sum(1 bis 1) 1/(2k-1)(2k+1) = (denn hier nur k=1) 1/(1)(3) = 1/3
re.Seite: ( n ist 1) 1/(2*1+1)=1/3 o.k.

II) Ind.schritt von n nach n+1:

Sum(1 bis n+1) 1/(2k-1)(2k+1) =
Sum(1 bis n) 1/(2k-1)(2k+1) + 1/(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)
(D.h. die Summe bis n+1 wird aufgespalten in die Summe bis n und den letzten fehlenden Summanden mit n+1.)

= ( da Aussage für n schon als bewiesen gilt)
n/(2n+1) + 1/(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)

= n/(2n+1) + 1/(2n+1)(2n+3) (Hauptnenner bilden)

= (2n+3)n/(2n+1)(2n+3) + 1/(2n+1)(2n+3)

= (2n^2+3n+1)/(2n+1)(2n+3)

= (2n+1)(n+1)/(2n+1)(2n+3) (Zähler ausmultipl.
gibt wieder 2n^2+3n+1)


= (n+1)/(2(n+1)+1), was genau die hesuchte Form hat.


Gruß Karl
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minniem (minniem)
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Junior Mitglied
Benutzername: minniem

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 15:35:   Beitrag drucken

Ok. Ich schreibe das Beispiel mal komplett auf. Ist glaube ich - etwas zerstückelt:

Bestimmen Sie den Summenwert der unendlichen Reihe Soo v=1 1/[(2v-1)(2v+1)] nach der folgenden Anleitung:

a) Bilden Sie zunächst die ersten Partialsummen, solange bis Sie einen allgemeinhen Ausdruck für die n-te Partialsumme vermuten.
b) Beweisen Sie diesen durch vollständige Induktion.

Lösung zu b:
Induktionsanfang: s s 1 = 1/(2*1+1) = 1/3
Nachweis: s1 = 1/3 nach Definition der Summe

Induktionsvoraussetzung: sk = (k+1)/[2k +1]
Zu zeigen: sk+1 = s k+ 1/[(2(k+1)-1)* (2 (k+1) +1)] = s(k) + 1/[(2k+1)* (2k+3)]...

Ich weiß einfach nur nicht, wie der Bruch hinter sk zustande kommt. Also sk + WAS??? = k+1/(2k+3)?
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minniem (minniem)
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Junior Mitglied
Benutzername: minniem

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 15:45:   Beitrag drucken

Leute, vielen Dank für die ausführlichen Erläuterungen, aber vielleicht bin ich einfach nur zu blöd zum Bruchrechnen.

Karl, kannst du mir deine Ausführungen noch mal - in kleinen Babyschritten - erklären?

n/(2n+1) + 1/(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)

= n/(2n+1) + 1/(2n+1)(2n+3) (Hauptnenner bilden)

= (2n+3)n/(2n+1)(2n+3) + 1/(2n+1)(2n+3)

= (2n^2+3n+1)/(2n+1)(2n+3)

= (2n+1)(n+1)/(2n+1)(2n+3) (Zähler ausmultipl.
gibt wieder 2n^2+3n+1)


= (n+1)/(2(n+1)+1), was genau die gesuchte Form hat.
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Karl
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 16:16:   Beitrag drucken

Hey,
1. Die (Summe der Glieder für k=1 bis k=n+1)
hat n+1 Summanden. Diese Summe wird jetzt
aufgespalten in die (Summe von k=1 bis k=n)
und den letzten noch fehlenden (Summanden k=n+1). Für die (Summe von k=1 bis k=n) darf man nach Ind.voraussetzung schreiben: n/(2n+1).
Die (Summe von k=1 bis k=n+1) ist also:
n/(2n+1) (=Summe von k=1 bis k=n) + 1/(2(n+1)-1)(2(n+1)+1) (= der noch fehlende Summand für k=n+1)

= n/(2n+1) + 1/(2n+1)(2n+3)

2. Jetzt die beiden Brüche addieren (dazu muß man sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen -> ersten Bruch mit (2n+3) erweitern)

= n(2n+3)/(2n+1)(2n+3) + 1/(2n+1)(2n+3)

Jetzt die Brüche addieren (Zähler1+Zähler2/gemeinsamer Nenner)
= n(2n+3)+1 / (2n+1)(2n+3).

Im Zähler dieses Bruches steht(ausmultiplizieren!): 2n^2+3n+1.
Wenn Du (n+1)*(2n+1)ausmultiplizierst, erhälst Du auch 2n^2+3n+1, man kann den Zähler also auch als
(n+1)*(2n+1) schreiben.

Der ganze Bruch lautet also:
(n+1)(2n+1)/(2n+1)(2n+3).
Jetztz kann man (2n+1) oben und unten kürzen:
= (n+1)/(2n+3) (2n+3=2(n+1)+1 ->)

= (n+1)/(2(n+1)+1)

Gruß Karl




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minniem (minniem)
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Junior Mitglied
Benutzername: minniem

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 18:11:   Beitrag drucken

Danke Karl,

jetzt habe ich es endlich verstanden!

Gruß
MinnieM

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