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Torsten
| Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 18:53: |
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Ich habe immer Probleme mit dem Aufstellen von Funktionsgleichungen bei textaufgaben, wie zum Beispiel bei folgender: Eine Parabel 4.Ordnung in O(0;0)eine waagerechte Tangente und in P(-2;2)einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Was sind nun die Bedingungen und wie stell ich die Gleichung auf?? Vielen Dank im voraus Torsten |
Martin (Martin243)
| Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 19:48: |
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Es ist von einer Parabel 4. Ordnung die Rede. Also wissen wir schon, dass 4 die höchste Potenz von x ist. Die allgemeine Gleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades lautet: f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Wir wissen, das der Punkt O(0;0) auf der Parabel liegt, also muss gelten: I: f(0) = 0 und wir wissen auch, dass die Steigung der Tangente an die Kurve in diesem Punkt gleich 0 ist (weil waagerecht), also gilt: II: f'(0) = 0. Wir haben noch den zweiten Punkt P(-2;2). Also gilt zuerst einmal: III: f(-2) = 2. Dann wissen wir, dass das ein Wendepunkt ist. Es muss also auch gelten: IV: f''(-2) = 0. Und zuletzt hast die Tangente auch hier die Steigung 0, also gilt zusätzlich: V: f'(-2) = 1. Tragen wir nun alle 5 Bedingungen zusammen und schreiben die Funktionsgleichungen alle aus: I: f(0) = 0 II: f'(0) = 0 III: f(-2) = 2 IV: f''(-2) = 0 V: f'(-2) = 0 Um die Funktion und deren Ableitungen gleich ausschreiben zu können, wollen wir sie erst einmal bilden: f'(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d f''(x) = 12ax2 + 6bx + 2c Ausgeschrieben ergeben die Bedingungen: I: a*04 + b*03 + c*02 + d*0 + e = 0 <=> e = 0 II: 4a*03 + 3b*02 + 2c*0 + d = 0 <=> d = 0 III: a*(-2)4 + b*(-2)3 + c*(-2)2 + d*(-2) + e = 2 <=> 16a - 8b + 4c - 2d + e = 2 <=> 16a - 8b + 4c - 2 + 0 = 2 <=> 16a - 8b + 4c = 4 <=> 4a - 2b + c = 1 IV: 12a*(-2)2 + 6b*(-2) + 2c = 0 <=> 48a - 12b + 2c = 0 <=> 24a - 6b + c = 0 V: 4a*(-2)3 + 3b*(-2)2 + 2c*(-2) + d = 0 <=> -32a + 12b - 4c + d = 0 <=> -32a + 12b - 4c + 1 = 0 <=> -32a + 12b - 4c = -1 <=> 8a - 3b + c = -1/4 Da d=1 und e=0 mittlerweile bekannt sind, brauchen wir nur noch die Gleíchungen die unter III, IV und V stehen und bilden daraus ein kleines lineares Gleichungssystem: <=> 4a - 2b + c = 1 <=> 24a - 6b + c = 0 <=> 8a - 3b + c = 0 Das löst man im Nu und erhält: a = 3/8 b = 2 c = 3 d = 0 e = 0 Dies ergibt folgende Funktionsgleichung: f(x) = 3/8*x4 + 2x3 + 3x2 |
anna konda
| Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 19:52: |
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die gl. mit den unbekannten koeffizienten lautet: a4*x^4+a3*x^3+a2*x^2+a1*x+a0. wenn f(0)=0 ist folgt a0=0 waagerechte tang. bedeutet f'=0: 4*a4*x^3+3*a3*x^2+2*a2*x+a1=0 für x=0 also a1=0 wendepunkt: f''=0 hier setzt du dann ein x=-2 so daß zunächst f(-2)=2 ist, der rest wie gehabt. |
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