| Autor |
Beitrag |
    
Jennis
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 18:19: | 
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Hi,
Ich habe heute eine Aufgabe bekommen, mit der ich nicht so ganz zurechtkomme.
Es soll die Gleichung einer Tangente an der Stelle x0=2 bestimmt werden. Funktion lautet f(x)=2x^2-6x+1
a) ohne Ableitung
b) mit Ableitung
Bei a) habe ich so gut wie keine Peilung, wie ich sowas machen soll.
Bei b) schon eher.
Erst wuerde ich mal die Ableitung bestimmen.
f'(x)=4x-6
Danach wuerde ich dann die Steigung der Tangente im Punkt x0=2 errechnen, das waere dann f'(2)=2.
Aber was dann? Wie bekomme ich dann die Tangenten-Gleichung heraus?
Eine Kurze Bitte noch: wenn mir jemand hilft, bitte erklaert eure Rechenschritte!
Vielen Dank! |
conny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 21:01: |
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Hi
Stimmt, bei b) bist du schon ziemlich näh dran, die Hauptarbeit ist getan.
Eine Gerade hat ja die Gleichung
y=mx+b , wobei m die Steigung ist und b irgendeine Zahl. Die Steigung m weißt du ja schon, die ist 2.
Was du sonst noch weißt, ist, dass die Gerade mit der Kurve einen Ounkt gemeinsam hat und der ist (2/-3).
Jetzt musst du diesen Punkt nur noch in die Geradengleichung einsetzen, um das b zu rauszubekommen.
-3=2*2+b ---> b=-7
Also lautet deine Gleichung:
y=2x-7
Jetzt also zu a)
Wenn du absolut überhaupt keine Ahnung hast und das hier alles wieder vergisst, dann rate ich dir einfach die Steigung so zu finden, wie man die Steigung einer Gerade findet:
Du nimmst einfach einen x-Wert, der ganz knapp unter 2 liegt und einen, der ein ganz kleines bisschen mehr als 2 ist (das Limit oder Limes also). Dann rechnest du die dazugehörigen y-Koordinaten aus und findest die Steigung, indem du einfach den Quotient aus den Differenzen der y-Koordinaten durch die Differenz der x-Koordinaten ausrechnest:
m= f(x1)-f(x2)/x1-x2 (wobei x1 dann jeweils größer als 2 ist, und x2 kleiner).
Damit bekommst du eine relativ gute Näherung,wenn du den Abstand klein wählst.
Genau das ist eigentlich ja auch der Ansatz der Differentialrechnung, nur dass man hier den Abstand wirklich winzigst macht. Sagen wir also mal du nimmst x1=2+h und x2=2 ,wobei das h gegen 0 streben soll, da du ja eigentlich die Steigung bei 2 willst. Jetzt setzt du das einfach in die Steigung von vorhin ein
m=f(x1)-f(x2)/(x1-x2)
Das macht dann:
(2*(2+h)²-6(2+h)+1-(2*2²-6*2+1))/((2+h)-2)
Macht dann vereinfacht(alles ausmultiplizieren und zusammenfassen):
(8+8h+h²-12-6h+1-8+12-1)/h
Wie du siehst kürzt sich das meiste und übrig bleibt:
(8h+h²-6h)/h
Nun kannst du das h ausklammern und kürzen:
h(8+h-6)/h ---> 8+h-6
So und jetzt sind wir auch fast schon fertig, weil das h ja immer noch gegen 0 strebt.
Es bleibt also nur noch:
m=8+(so gut wie 0)-6
Et voila:
m=2
Nun verfährst du einfach wie in Teil b) um die Geradengleichung zu finden.
Ich hoffe, ich konnte die etwas helfen. Wenn du noch Fragen hast schreib' einfach noch mal.
Tschüss
Conny |
Jessix
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 00:06: |
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Hallo !!
Ich habe auch eine Frage!
"Was du sonst noch weißt, ist, dass die Gerade mit der Kurve einen Ounkt gemeinsam hat und der ist (2/-3)."
Ähm ich bin auch nicht grad sehr helle - woher kennst du den Punkt ?
Danke !! |
conny
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. März, 2001 - 12:48: |
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Hi
Du suchst ja die Tangente bei x=2, das heißt der Punkt der Funktion ist (2/f(2))=(2/-3). Die Tangente an die Funktion in diesem Punkt beinhaltet diesen dann natürlich auch. Also weißt du, dass (2/-3) ein Punkt auf der Tangente ist.
Conny |
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