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Jeanine (jeanine)
Junior Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 18:30: | 
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Ich soll die zwei Funktionen f: x--> 1/x und g: x--> x² + 10 verketten. Danach die Ableitungsfunktion (gof)' berechnen. Das mit der Ableitungsfunktion verstehe ich ja, aber ich brauche eine Formel oder rechenweg um die zwei Funktionen zu verketten. Wäre nett wenn mir jemand weiter helfen könnte. |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 715
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 20:44: |
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Hi Jeanine!
Das Verketten könnte man auch als "Verschachteln" verstehen. Dabei wird die innere Funktion als Veränderliche der äußeren Funktion aufgefasst.
Die durch die Verkettung entstehende Funktion g o f hat die Form:
(g o f) (x) = g(f(x)).
Wir ersetzen also die Veränderliche von g durch den Term f(x). In deinem Falle erhält man aus
g(x) = x² + 10 und f(x) = 1/x
die Funktion:
g(f(x)) = (f(x))² + 10
= (1/x)² + 10
= 1/x² + 10
Ich hoffe, ich konnte helfen.
MfG
Martin |
Jeanine (jeanine)
Junior Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. August, 2002 - 08:02: |
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Danke Martin... Ich bin mir nicht so sicher ob ich es so richtig verstanden habe. Habe versucht ein paar andere aufgaben von dieser sorde zu lösen. Kann jemand diese korregieren?
a) f: x--> 2x 3 und g: x--> Wurzel x
Lösung: Wurzel 2x + 5
b) f: x--> x + 1 und g: x--> 1/x
Lösung: 1/x +1
c)f: x--> 1/x und g: x--> x² + 10
Lösung: (1)/(x²+10)
d)f: x--> Wurzel x und g: x--> Wurzel x
Lösung: Wurzel x |
melanie (melanie)
Moderator
Benutzername: melanie
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. August, 2002 - 19:06: |
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}Hallo Jeanine!
Bei Aufgabe a gehe ich mal davon aus, dass du dich vertippt hast, da in deiner Lösung der Summand 5 auftaucht, welcher aber in der Funktion f nicht enthalten ist. Bei Aufgabe b hast du die Klammern im Nenner vergessen. Richtige Lösung wäre: 1/(x+1). Bei Aufgabe c hast du die Funktion f(g(x)) statt g(f(x)) gebildet. Richtige Lösung wäre: (1/x)²+10=1/x²+10. Bei Aufgabe d hast du die beiden Funktonen überhaupt nicht miteinander verbunden. Die richtige Lösung wäre hier: Wurzel(Wurzel x). Wenn du irgendwas nicht verstehen solltest, dann frag einfach noch mal nach. Tschüß Melanie |
Jeanine (jeanine)
Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. August, 2002 - 15:15: |
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hallo melanie... ich verstehe die verkettung von zwei funktionen im allgemeinen nicht. mein problem ist das ich nicht genau weis wie man das x aus funktion (g) in funktion (f) einsetzen soll. |
Thomas (johnnie_walker)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. August, 2002 - 15:59: |
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Hallo Jeanine,
stell Dir folgendes vor :
Ein Versorgungsunternehmen versorgt eine Großstadt mit Gas. Die Gasmenge in m3 die dieses Unternehmen abgibt hängt von der Anzahl der angeschlossenen Haushalte ab. Wir nehmen vereinfachend an, daß jeder Haushalt gleich viel Gas benötigt, also z.B. 10 m3.
Wir erhalten so eine Funktion y=f(x) der Gasmenge, die so von der Anzahl der Haushalte x abhängt :
f(x)= 10x
Nun entstehen der Firma durch die Lieferung des Gases auch Kosten : Nehmen wir an, 1 m3 Gas würde die Firma 3 € kosten. Also ergibt sich für die Kosten eine Funktion z=g(y), die so von der abgegebenen Menge Gas y abhängt :
g(y)=3y
Jetzt möchte die Firma wissen, wie ihre Kosten von der Anzahl der angeschlossenen Haushalte abhängt. Angenommen, es gibt 100000 angeschlossene Haushalte.
Dann kann die Firma mit der ersten Funktion berechnen, wieviel Gas geliefert wird, nämlich f(100000)= 10*100000 = 1000000 (m3 Gas)
Dann kann sie die Menge in ihre Kostenfunktion einsetzen und erhält
g(1000000) = 3000000.
So erhält man für eine beliebige Anzahl Haushalte die entsprechenden Kosten.
Man kann dieses Verfahren jedoch beschleunigen, indem man die Verbrauchsfunktion y=f(x)=10x in die Kostenfunktion z=g(y)=3y einsetzt
z=g(y)=g(f(x))
Du gehst so vor :
Suche alle Variablen y in g(y) und setze für diese y f(x) ein. In unserem Beispiel findest Du nur ein y, für das Du f(x)=10x einsetzt :
z=g(y)=3y
y=f(x)=10x
also g(f(x)) = 3*(10x) // für y 10x eingesetzt
= 30x
Hätte die Verbrauchsfunktion anders ausgesehen, z.B. f(x)=25x+20
dann würde sich für g(f(x)) ergeben
g(f(x)) = 3*(25x+20) // 25x+20 für y eingesetzt
= 75x+60
Hätte die Kostenfunktion auch anders ausgesehen, z.B. g(y) = y2+2y+6
ergibt sich für
g(f(x))= (25x+20)2+2*(25x+20)+6 // 25x+20 für y eingesetzt
= 625x2+1000x+400+50x+40+6
= 625x2+1050x+446
Hoffe ich habe Dich nicht noch mehr verwirrt ;)
Die Werte für Verbrauch und Gas habe ich mir einfach ausgedacht, sieht in der Realität natürlich ganz anders aus.
Gruß
Thomas
(Beitrag nachträglich am 06., August. 2002 von johnnie_walker editiert) |
